横浜国立大学 2015年度理系数学第5問解答・解説

問題

1個のさいころを3回続けて投げて，出た目を順に $a, b, c$ とする．不等式

\int_{0}^{π} (cos (a x)) (cos (b x)) (cos (c x)) d x > 0

をみたす確率を求めよ．

出典：横浜国立大学 2015年度前期理系第5問

方針

三角関数の積和公式で $cos a x cos b x cos c x$ を余弦の和に直す。 $\int_{0}^{π} cos n x d x$ は整数 $n \neq = 0$ で $0$ ， $n = 0$ で $π$ になるため，積分が正になるのは1つの出目が他の2つの和になる場合に限られる。最後に順序つきで数える。

解答

積和公式より

cos a x cos b x cos c x = \frac{1}{4} {cos (a + b + c) x + cos (a + b - c) x + cos (a - b + c) x + cos (- a + b + c) x}

である。整数 $n$ について， $n \neq = 0$ なら

\int_{0}^{π} cos n x d x = 0

であり， $n = 0$ ならこの積分は $π$ である。 $a + b + c > 0$ だから，積分が正になるのは

a + b = c, a + c = b, b + c = a

のいずれかが成り立つときである。

たとえば $a + b = c$ となる ordered pair $(a, b)$ は， $a + b ≦ 6$ をみたす正の整数の組である。和が $2, 3, 4, 5, 6$ の場合の個数は順に $1, 2, 3, 4, 5$ だから，合計 $15$ 通りである。どの出目が他の2つの和になるかは3通りあり，これらは重ならない。したがって条件をみたす出方は

3 \cdot 15 = 45

通りである。全事象は $6^{3} = 216$ 通りなので，求める確率は

\frac{45}{216} = \frac{5}{24}

である。

横浜国立大学 2015年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

横浜国立大学 2015年度
理系数学第5問