横浜国立大学 2015年度理系数学第3問解答・解説

問題

実数 $a$ に対し， $x y$ 平面上の放物線 $C : y = (x - a)^{2} - 2 a^{2} + 1$ を考える．次の問いに答えよ．

(1)　 $a$ がすべての実数を動くとき， $C$ が通過する領域を求め，図示せよ．

(2)　 $a$ が $- 1 ≦ a ≦ 1$ の範囲を動くとき， $C$ が通過する領域を求め，図示せよ．

出典：横浜国立大学 2015年度前期理系第3問

(1) 方程式を $a$ について平方完成し，固定した $x$ に対して $y$ の最大値を求める。(2) も固定した $x$ で $a \in [- 1, 1]$ の範囲における $(a + x)^{2}$ の最小値と最大値を調べ，上下の境界を場合分けで表す。

y = (x - a)^{2} - 2 a^{2} + 1 = 2 x^{2} + 1 - (a + x)^{2}

である。 $a$ がすべての実数を動くとき，固定した $x$ に対して $(a + x)^{2}$ は $0$ 以上のすべての値をとれる。したがって通過する領域は

y ≦ 2 x^{2} + 1

である。

% 図は省略

同じく

y = 2 x^{2} + 1 - (a + x)^{2}

である。 $- 1 ≦ a ≦ 1$ のもとで， $(a + x)^{2}$ の最小値は， $- x$ が区間 $[- 1, 1]$ に入るかどうかで決まる。したがって上側の境界は

{2 x^{2} + 1 x^{2} + 2∣ x ∣ (∣ x ∣ ≦ 1), (∣ x ∣ ≧ 1)

である。一方， $(a + x)^{2}$ の最大値は区間の端点で生じるので，下側の境界は

x^{2} - 2∣ x ∣

である。よって通過する領域は

x^{2} - 2∣ x ∣ ≦ y ≦ {2 x^{2} + 1 x^{2} + 2∣ x ∣ (∣ x ∣ ≦ 1), (∣ x ∣ ≧ 1)

である。

% 図は省略