横浜国立大学 2015年度理系数学第4問解答・解説

問題

自然数を2個以上の連続する自然数の和で表すことを考える．たとえば， $42$ は $3 + 4 + \dots + 9$ のように2個以上の連続する自然数の和で表せる．次の問いに答えよ．

(1)　 $2020$ を2個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ．

(2)　 $a$ を $0$ 以上の整数とするとき， $2^{a}$ は2個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ．

(3)　 $a, b$ を自然数とするとき， $2^{a} (2 b + 1)$ は2個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ．

出典：横浜国立大学 2015年度前期理系第4問

方針

連続する自然数の個数を $m$ ，初項を $n$ とおくと，和は $m (2 n + m - 1) /2$ になる。(1) は $4040 = m (2 n + m - 1)$ を満たす約数 $m$ を調べる。(2) は2つの因数の偶奇が逆になることから，奇数因子が $1$ でなければならないと示す。(3) は $b < 2^{a}$ と $b ≧ 2^{a}$ に分け，具体的な連続和を構成する。

解答

(1)

初項を $n$ ，項数を $m (m ≧ 2)$ とすると

2020 = \frac{m ( 2 n + m - 1 )}{2}

である。したがって

4040 = m (2 n + m - 1)

であり， $n ≧ 1$ より $2 n + m - 1 > m$ である。 $4040 = 2^{3} \cdot 5 \cdot 101$ であるから， $m < 4040$ をみたす約数は

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

である。このうち $m ≧ 2$ で， $n = (4040/ m - m + 1) /2$ が自然数となるものは

m = 5, 8, 40

である。よって

2020 = 402 + 403 + 404 + 405 + 406,

2020 = 249 + 250 + \dots + 256,

2020 = 31 + 32 + \dots + 70

である。

(2)

$2^{a}$ が $m (m ≧ 2)$ 個の連続する自然数の和で表せたと仮定すると

2^{a + 1} = m (2 n + m - 1)

である。 $m$ と $2 n + m - 1$ は偶奇が逆である。右辺が2の累乗であるためには，奇数の因数が $1$ でなければならない。 $m$ が奇数なら $m = 1$ となり $m ≧ 2$ に反する。 $m$ が偶数なら $2 n + m - 1 ≧ 3$ であるから，これも $1$ にならない。したがって $2^{a}$ は2個以上の連続する自然数の和で表せない。

(3)

$b < 2^{a}$ のとき， $2 b + 1$ 個の連続する自然数

2^{a} - b, 2^{a} - b + 1, \dots, 2^{a} + b

を考える。これはすべて自然数で，和は $2^{a} (2 b + 1)$ である。

$b ≧ 2^{a}$ のとき， $2^{a + 1}$ 個の連続する自然数

b - 2^{a} + 1, b - 2^{a} + 2, \dots, b + 2^{a}

を考える。これもすべて自然数であり，平均は $b + \frac{1}{2}$ ，項数は $2^{a + 1}$ だから，和は

2^{a + 1} (b + \frac{1}{2}) = 2^{a} (2 b + 1)

である。以上より， $2^{a} (2 b + 1)$ は2個以上の連続する自然数の和で表せる。

横浜国立大学 2015年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2015年度
理系数学第4問