横浜国立大学 2015年度理系数学第1問(2) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(2)　 $x > 0$ のとき，不等式

lo g x ≧ \frac{5 x ^{2} - 4 x - 1}{2 x ( x + 2 )}

が成り立つことを示せ．

出典：横浜国立大学 2015年度前期理系第1問(2)

(2) 左辺から右辺を引いた関数を作り，導関数の符号を調べる。導関数は $(x - 1)^{3}$ を分子にもつ形に整理できるため， $x = 1$ で最小値をとることを示す。

F (x) = lo g x - \frac{5 x ^{2} - 4 x - 1}{2 x ( x + 2 )} (x > 0)

とおく。微分して整理すると

F^{'} (x) = \frac{( x - 1 ) ^{3}}{x ^{2} ( x + 2 ) ^{2}}

である。分母は $x > 0$ で正だから， $F^{'} (x) < 0$ は $0 < x < 1$ ， $F^{'} (x) > 0$ は $x > 1$ で成り立つ。したがって $F (x)$ は $x = 1$ で最小値をとる。

F (1) = 0 - \frac{5 - 4 - 1}{2 \cdot 1 \cdot 3} = 0

であるから，すべての $x > 0$ について $F (x) ≧ 0$ である。よって

lo g x ≧ \frac{5 x ^{2} - 4 x - 1}{2 x ( x + 2 )}

が成り立つ。