横浜国立大学 2015年度理系数学第1問(1) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(1)　定積分

\int_{0}^{l o g 3} \frac{d x}{e ^{x} + 5 e ^{- x} - 2}

を求めよ．

出典：横浜国立大学 2015年度前期理系第1問(1)

(1) まず $t = e^{x}$ と置換して有理式の積分に変える。分母を平方完成し，さらに $t = 1 + 2 tan θ$ と置換して角度の長さとして計算する。

$t = e^{x}$ とおくと， $d x = d t / t$ であり，積分区間は $t = 1$ から $t = 3$ までである。したがって

\int_{0}^{l o g 3} \frac{d x}{e ^{x} + 5 e ^{- x} - 2} = \int_{1}^{3} \frac{d t}{t ^{2} - 2 t + 5} = \int_{1}^{3} \frac{d t}{( t - 1 ) ^{2} + 4}

である。さらに $t = 1 + 2 tan θ$ とおくと， $t = 1$ のとき $θ = 0$ ， $t = 3$ のとき $θ = π /4$ であり，

d t = \frac{2}{cos ^{2} θ} d θ, (t - 1)^{2} + 4 = \frac{4}{cos ^{2} θ}

である。よって

\int_{1}^{3} \frac{d t}{( t - 1 ) ^{2} + 4} = \int_{0}^{π /4} \frac{1}{2} d θ = \frac{π}{8}

である。