問題
複素数平面上の点を中心とする半径の円の周から原点を除いた曲線をとする。
(1) 曲線上の複素数に対し，の実部は1であることを示せ。
(2) を曲線上の相異なる複素数とするとき，がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
(3) を(2)で求めた範囲に属さない複素数とするとき，の実部がとりうる値の最大値と最小値を求めよ。
方針
(1)は とおき，円の方程式から を得て の実部を計算する。(2)では ， とおく。すると和は となり， から が出る。逆向きも，和と二乗和を指定して相異なる実数 を作ればよい。(3)は補集合 上で を評価し，最大・最小を円の不等式に変換する。
解答
(1)
とおく。 は中心 ，半径 の円周上にあるので である。これを展開すると より を得る。
また，曲線 では原点を除いているので である。したがって であり，その実部は である。上で得た を用いると となる。よって の実部は1である。
(2)
(1)より， が 上にあるとき とおける。ただし は実数である。 であり，写像 は一対一なので， である。
このとき
である。これを とおくと である。実数 について が成り立ち，等号は のときに限る。今回は だから である。したがって を得る。
逆に，実数 が を満たすとする。 とおくと，条件は である。和が ，二乗和が である2つの実数 を取ればよい。実際， のもとで となる条件は であり，これは相異なる実数 を与える。すると上の計算により，その からちょうど が得られる。
よって求める範囲は である。これは放物線 の左側の領域であり，境界は含まない。
(3)
とおく。(2)で求めた範囲に属さないので である。また は(2)の範囲に属するため，ここでは である。したがって であり，その実部は である。
まず最大値を求める。 は すなわち と同値であり，これは である。これを領域の条件から示す。 とおく。固定した に対して，許される は である。 の最小値を考える。 のときは なので， が許され，最小値は である。よって1以上である。 のときは なので，最小は端点 でとる。このとき である。したがって常に であり， が成り立つ。等号は で成り立つので，最大値は である。
次に最小値を求める。 は すなわち と同値であり，これは である。
再び とおく。固定した に対して， の最小値を考える。 のときは なので， が許され，最小値は である。 のときは なので，最小は端点 でとる。このとき である。したがって常に であり， が成り立つ。等号は すなわち で成り立つ。よって最小値は である。
以上より， の実部の最大値と最小値はそれぞれ である。