東京大学 2025年度
理系数学 第4問

解答

(1)

$n>a$ と仮定する。このとき $f_a(n)=n^2+n-a$ である。$n>a$ より $n-a>0$ だから $n^2<n^2+n-a=f_a(n)$ である。一方，$a$ は正の整数なので $n-a<n+1<2n+1$ であり，したがって $f_a(n)=n^2+n-a<n^2+2n+1=(n+1{)}^2$ である。

よって $n>a$ のとき，$f_a(n)$ は連続する2つの平方数 $n^2,(n+1{)}^2$ の間にある。連続する平方数の間に平方数は存在しないから，$f_a(n)$ は平方数ではない。したがって，$f_a(n)$ が平方数ならば $\boxed{n\leqq a}$ である。

(2)

まず，$f_a(n)$ が平方数であるとする。$m$ を0以上の整数として $f_a(n)=m^2$ と書くと，$n^2+n-a=m^2$ である。両辺を4倍して整理すると $4a+1=(2n+1{)}^2-(2m{)}^2$ となる。よって $4a+1=(2n+1-2m)(2n+1+2m)$ である。

ここで，$2n+1+2m$ は正である。また $m^2=n^2+n-a<n^2+n<{\left(n+\frac{1}{2}\right)}^2$ より $m<n+\frac{1}{2}$ である。$m,n$ は整数なので $2m<2n+1$ となり，$2n+1-2m>0$ である。したがって，上の式は $4a+1$ の正の奇数因数分解を与える。

逆に，$4a+1$ の正の奇数因数分解 $4a+1=de,1\leqq d\leqq e$ をとる。$4a+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ であるから，$d$ と $e$ はともに $1(\mathrm{mod}4)$ またはともに $3(\mathrm{mod}4)$ である。したがって $e-d\equiv 0(\mathrm{mod}4),d+e-2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ であり，$n=\frac{d+e-2}{4},m=\frac{e-d}{4}$ は整数である。このとき $2n+1=\frac{d+e}{2},2m=\frac{e-d}{2}$ なので $(2n+1{)}^2-(2m{)}^2=de=4a+1$ である。よって $n^2+n-a=m^2$ となり，$f_a(n)$ は平方数である。$(d,e)=(1,4a+1)$ のときは $n=a$ だから，少なくとも正の整数解は存在する。

以上より，$f_a(n)$ が平方数となる正の整数 $n$ は，$4a+1$ の正の奇数因数分解 $4a+1=de$，$d\leqq e$ に対応する。 $4a+1$ が素数であるとする。このとき正の因数分解は $4a+1=1\cdot (4a+1)$ だけである。これに対応する解は $n=\frac{1+(4a+1)-2}{4}=a$ のみである。したがって $N_a=1$ である。

反対に，$4a+1$ が合成数であるとする。$4a+1$ は奇数なので，$4a+1=de,1<d\leqq e<4a+1$ となる正の奇数因数分解を取ることができる。この分解から得られる $n=\frac{d+e-2}{4}$ は正の整数である。また $d+e<de+1=4a+2$ が成り立つ。実際，これは $(d-1)(e-1)>0$ と同値である。したがって $n=\frac{d+e-2}{4}<\frac{4a}{4}=a$ である。

一方，因数分解 $4a+1=1\cdot (4a+1)$ からは $n=a$ が得られる。よって合成数の場合は少なくとも2つの異なる正の整数 $n$ が存在し，$N_a\ne 1$ である。

以上より $\boxed{N_a=1⟺4a+1\text{ は素数}}$ が示された。