東京大学 2025年度理系数学第2問解答・解説

問題

(1) $x > 0$ のとき，不等式 $lo g x ≦ x - 1$ を示せ。

(2) 次の極限を求めよ。

n \to \infty lim n \int_{1}^{2} lo g (\frac{1 + x ^{1/ n}}{2}) d x

出典：東京大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1)は $F (x) = x - 1 - lo g x$ の増減で示す。(2)は $x^{1/ n} = e^{(l o g x) / n}$ と書き， $h (u) = lo g \frac{1 + e ^{u}}{2}$ を導入する。 $u$ は $[0, (lo g 2) / n]$ に入るので，平均値の定理により $h (u) = u h^{'} (ξ)$ と表せる。 $h^{'} (u) = e^{u} / (1 + e^{u})$ はこの狭い区間で一様に $1/2$ に近づくため，積分の中身の極限を $\frac{1}{2} lo g x$ として処理する。

解答

(1)

$F (x) = x - 1 - lo g x (x > 0)$ とおく。すると $F^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ である。 $x > 0$ では分母 $x$ は正であるから， $F^{'} (x)$ の符号は $x - 1$ の符号で決まる。したがって $F (x)$ は $0 < x < 1 で減少, x > 1 で増加$ する。よって最小値は $x = 1$ でとり， $F (1) = 1 - 1 - lo g 1 = 0$ である。したがってすべての $x > 0$ に対して $F (x) ≧ 0$ すなわち $lo g x ≦ x - 1$ が成り立つ。

(2)

$h (u) = lo g (\frac{1 + e ^{u}}{2})$ とおく。このとき $h (0) = lo g 1 = 0, h^{'} (u) = \frac{e ^{u}}{1 + e ^{u}}$ である。また $1 ≦ x ≦ 2$ では $0 ≦ lo g x ≦ lo g 2$ だから $0 ≦ \frac{l o g x}{n} ≦ \frac{l o g 2}{n}$ である。

積分の中身は

lo g (\frac{1 + x ^{1/ n}}{2}) = lo g (\frac{1 + e ^{(l o g x) / n}}{2}) = h (\frac{lo g x}{n})

と書ける。平均値の定理より，各 $x$ に対して，ある $ξ_{n, x}$ が $0 ≦ ξ_{n, x} ≦ \frac{l o g x}{n} ≦ \frac{l o g 2}{n}$ を満たし， $h (\frac{l o g x}{n}) - h (0) = \frac{l o g x}{n} h^{'} (ξ_{n, x})$ となる。したがって $n lo g (\frac{1 + x ^{1/ n}}{2}) = lo g x \cdot h^{'} (ξ_{n, x})$ である。

ここで $h^{'} (u) = \frac{e ^{u}}{1 + e ^{u}}$ は連続であり， $0 ≦ u ≦ (lo g 2) / n$ の範囲は $n \to \infty$ で $0$ に縮む。よって $h^{'} (ξ_{n, x}) \to h^{'} (0) = \frac{1}{2}$ である。しかも $ξ_{n, x}$ はすべて $[0, (lo g 2) / n]$ に入るので，この収束は $1 ≦ x ≦ 2$ で一様である。したがって $n lo g (\frac{1 + x ^{1/ n}}{2})$ は一様に $\frac{1}{2} lo g x$ へ近づく。

よって極限と積分を入れ替えて

n \to \infty lim n \int_{1}^{2} lo g (\frac{1 + x ^{1/ n}}{2}) d x = \int_{1}^{2} \frac{1}{2} lo g x d x = \frac{1}{2} [x lo g x - x]_{1}^{2} = \frac{1}{2} {(2 lo g 2 - 2) - (- 1)} = lo g 2 - \frac{1}{2}

である。

東京大学 2025年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2025年度
理系数学第2問