東京大学 2025年度理系数学第1問解答・解説

問題

座標平面上の点 $A (0, 0)$ ， $B (0, 1)$ ， $C (1, 1)$ ， $D (1, 0)$ を考える。実数 $0 < t < 1$ に対して，線分 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ を $t : (1 - t)$ に内分する点をそれぞれ $P_{t}$ ， $Q_{t}$ ， $R_{t}$ とし，線分 $P_{t} Q_{t}$ ， $Q_{t} R_{t}$ を $t : (1 - t)$ に内分する点をそれぞれ $S_{t}$ ， $T_{t}$ とする。さらに，線分 $S_{t} T_{t}$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $U_{t}$ とする。また，点 $A$ を $U_{0}$ ，点 $D$ を $U_{1}$ とする。

(1) 点 $U_{t}$ の座標を求めよ。

(2) $t$ が $0 ≦ t ≦ 1$ の範囲を動くときに点 $U_{t}$ が描く曲線と，線分 $A D$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

(3) $a$ を $0 < a < 1$ を満たす実数とする。 $t$ が $0 ≦ t ≦ a$ の範囲を動くときに点 $U_{t}$ が描く曲線の長さを， $a$ の多項式の形で求めよ。

出典：東京大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

内分点の公式を順に適用し， $P_{t}, Q_{t}, R_{t}$ ，次に $S_{t}, T_{t}$ ，最後に $U_{t}$ を $t$ で表す。得られる曲線は $x = 3 t^{2} - 2 t^{3}$ ， $y = 3 t - 3 t^{2}$ で， $d x / d t = 6 t (1 - t) ≧ 0$ だから $x$ は単調に増える。(2)は線分 $A D$ が $x$ 軸なので $\int y d x$ を用いる。(3)は弧長公式を使い，根号内が $9 (2 t^{2} - 2 t + 1)^{2}$ になることを確認する。

解答

(1)

線分を $t : (1 - t)$ に内分する点は，始点側から割合 $t$ だけ進んだ点である。したがって $P_{t} = (1 - t) A + tB = (0, t),$ $Q_{t} = (1 - t) B + tC = (t, 1),$ $R_{t} = (1 - t) C + t D = (1, 1 - t)$ である。

次に， $S_{t}$ は線分 $P_{t} Q_{t}$ を $t : (1 - t)$ に内分する点だから

S_{t} = (1 - t) P_{t} + t Q_{t} = (1 - t) (0, t) + t (t, 1) = (t^{2}, (1 - t) t + t) = (t^{2}, 2 t - t^{2})

である。同様に

T_{t} = (1 - t) Q_{t} + t R_{t} = (1 - t) (t, 1) + t (1, 1 - t) = (2 t - t^{2}, 1 - t^{2})

である。

最後に， $U_{t}$ は線分 $S_{t} T_{t}$ を $t : (1 - t)$ に内分する点であるから

U_{t} = (1 - t) S_{t} + t T_{t} = (1 - t) (t^{2}, 2 t - t^{2}) + t (2 t - t^{2}, 1 - t^{2}) = (t^{2} - t^{3} + 2 t^{2} - t^{3}, 2 t - 3 t^{2} + t^{3} + t - t^{3}) = (3 t^{2} - 2 t^{3}, 3 t - 3 t^{2})

である。よって $U_{t} = (3 t^{2} - 2 t^{3}, 3 t - 3 t^{2})$ である。

(2)

(1)より $x = 3 t^{2} - 2 t^{3}, y = 3 t - 3 t^{2}$ とおく。 $0 ≦ t ≦ 1$ で $y = 3 t (1 - t) ≧ 0$ であり，また $\frac{d x}{d t} = 6 t - 6 t^{2} = 6 t (1 - t) ≧ 0$ である。したがって曲線は $A (0, 0)$ から $D (1, 0)$ まで， $x$ 方向に戻らずに進む。線分 $A D$ は $x$ 軸上にあるから，囲まれた部分の面積は $\int_{0}^{1} y d x = \int_{0}^{1} y \frac{d x}{d t} d t$ で求められる。

よって

\int_{0}^{1} y \frac{d x}{d t} d t = \int_{0}^{1} 3 t (1 - t) \cdot 6 t (1 - t) d t = 18 \int_{0}^{1} t^{2} (1 - t)^{2} d t = 18 \int_{0}^{1} (t^{2} - 2 t^{3} + t^{4}) d t = 18 (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5}) = 18 \cdot \frac{1}{30} = \frac{3}{5}

である。

(3)

$0 ≦ t ≦ a$ における曲線の長さを $L$ とする。パラメータ表示された曲線の長さは

L = \int_{0}^{a} (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} d t

である。ここで $\frac{d x}{d t} = 6 t (1 - t), \frac{d y}{d t} = 3 - 6 t = 3 (1 - 2 t)$ であるから，根号内は

{6 t (1 - t)}^{2} + (3 - 6 t)^{2} = 36 t^{2} (1 - t)^{2} + 9 (1 - 2 t)^{2} = 9 {4 t^{2} (1 - t)^{2} + (1 - 2 t)^{2}} = 9 (2 t^{2} - 2 t + 1)^{2}

となる。また $2 t^{2} - 2 t + 1 = 2 (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2} > 0$ である。したがって ${6 t (1 - t)}^{2} + (3 - 6 t)^{2} = 3 (2 t^{2} - 2 t + 1)$ であり，

L = \int_{0}^{a} 3 (2 t^{2} - 2 t + 1) d t = [2 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t]_{0}^{a} = 2 a^{3} - 3 a^{2} + 3 a

である。

東京大学 2025年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2025年度
理系数学第1問