問題
座標空間内に3点，，をとり，を線分の中点とする。三角形の周および内部を軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積を求めよ。
出典：東京大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
を固定し，三角形と平面の交わりを平面内の線分として見る。この線分を軸のまわりに回転すると，断面は中心が原点の円板または輪になるため，線分上の点のの最大値と最小値を求めればよい。では断面端点がと上，ではと上にある。線分はいずれも上にあり，原点からの垂線の足が線分内に入るかどうかがで変わる。断面積を区間ごとに積分する。
解答
は線分の中点であるから である。三角形を，平面で切った断面を考える。
1.
の場合。この範囲では，断面線分の一方の端点は辺上にあり，その座標は である。もう一方の端点は辺上にあり，からへ向かう比を用いると である。どちらの点も 上にある。
この線分を軸のまわりに回転させると，断面積は の形になる。ここでは線分上のの最大値，は最小値である。
最大値は端点でとる。実際，もう一方の端点での値は であり， だからである。よって である。
最小値は，直線上で原点に最も近い点を考える。垂線の足は である。この点が断面線分上にあるには，座標がからまでの間にあればよいので すなわち が必要十分である。
したがって，では最小値は端点でとり， である。一方，では垂線の足で最小値をとり， である。
2.
の場合。この範囲では，断面線分の端点は辺上の と，辺上の である。やはり線分は上にあり，両端点の原点からの距離は等しい。よって である。また垂線の足 はこの線分上にあるので， である。
以上より，求める体積は
である。第1の被積分関数は であるから，
である。