問題
座標平面上を次の規則(i)，(ii)に従って1秒ごとに動く点Pを考える。
(i) 最初に，Pは点にいる。
(ii) ある時刻でPが点にいるとき，その1秒後にはPは確率で軸に関してと対称な点，確率で軸に関してと対称な点，確率で直線に関してと対称な点，確率で直線に関してと対称な点にいる。
以下の問いに答えよ。ただし，(1)については，結論のみを書けばよい。
(1) Pがとりうる点の座標をすべて求めよ。
(2) を正の整数とする。最初から秒後にPが点にいる確率と，最初から秒後にPが点にいる確率は等しいことを示せ。
(3) を正の整数とする。最初から秒後にPが点にいる確率を求めよ。
方針
反射で入れ替わるのは座標の符号と順序だけなので，到達可能点はとの8点に限られる。初期点から偶数秒後にいる4点と奇数秒後にいる4点は分かれるため，奇数秒後にへ戻る確率は0である。偶数秒後については，の組との組にまとめ，2秒ごとの遷移表を作る。各組の2点の確率が等しく保たれることを示し，の漸化式から一般項を求める。
解答
(1)
反射によって，座標の絶対値はとのままであり，符号と順序だけが変わる。したがってPがとりうる点は である。
(2)
まず，初期点から1秒後に到達する点は の4点である。これらからさらに1秒動くと の4点に戻る。したがって，奇数秒後にはにもにもいないので，その場合は2つの確率はいずれも0で等しい。
偶数秒後を考える。次の4点を とおく。2秒後の遷移を調べると，またはからは の確率で移る。また，またはからは の確率で移る。したがって，2秒ごとの遷移では，とへ移る確率は常に同じである。
初期から2秒後も，実際に である。よって帰納的に，すべての正の整数について，秒後ににいる確率とにいる確率は等しい。
(3)
奇数秒後にはにいないので，が奇数のとき求める確率は である。
とする。秒後に，との各点にいる確率を，との各点にいる確率をとおく。(2)の2秒遷移表から，に対して である。実際，例えばへ来る確率は，からそれぞれ，からそれぞれであるため
となる。
初期から2秒後には である。上の漸化式を引き算すると であり， だから である。
また，秒後にはのいずれかにいるので すなわち である。したがって
である。
求める確率はにいる確率なので，
である。