東京大学 2024年度
理系数学 第4問

解答

(1)

$f(x)=-\frac{\sqrt{2}}{4}{x}^2+4\sqrt{2}$ であるから $f^{\prime }(t)=-\frac{\sqrt{2}}{2}t$ である。

円$C_t$の中心を$(c,0)$とする。接点$(t,f(t))$における円の半径の傾きは $\frac{f(t)}{t-c}$ なので，円の接線の傾きは $-\frac{t-c}{f(t)}$ である。放物線と共通の接線を持つから，$-\frac{t-c}{f(t)}=-\frac{\sqrt{2}}{2}t$ すなわち $t-c=\frac{\sqrt{2}}{2}tf(t)$ である。ここで

だから $t-c=t\left(4-\frac{t^2}{4}\right)$ である。よって $\boxed{c(t)=t-t\left(4-\frac{t^2}{4}\right)=\frac{t^3}{4}-3t}$ である。

半径の2乗は $\{r(t){\}}^2=(t-c(t){)}^2+f(t{)}^2$ である。上で得た$t-c(t)=t\left(4-\frac{t^2}{4}\right)$と $f(t)=\sqrt{2}\left(4-\frac{t^2}{4}\right)$ を用いると $\{r(t){\}}^2=(t^2+2){\left(4-\frac{t^2}{4}\right)}^2$ である。展開して $\boxed{\{r(t){\}}^2=\frac{t^6}{16}-\frac{15t^4}{8}+12t^2+32}$ を得る。

(2)

点$(3,a)$が円$C_t$上にある条件は $(3-c(t){)}^2+a^2=\{r(t){\}}^2$ である。したがって $a^2=\{r(t){\}}^2-(3-c(t){)}^2$ である。右辺を$h(t)$とおくと，(1)の結果から整理して $h(t)=\frac{-3t^4+12t^3+24t^2-144t+184}{8}$ である。

この関数の増減を調べる。微分すると $h^{\prime }(t)=\frac{-12t^3+36t^2+48t-144}{8}=-\frac{3}{2}(t-3)(t-2)(t+2)$ である。$0<t<4$では$t+2>0$なので，符号を調べると

する。

必要な値を計算すると $h(2)=5,h(3)=\frac{49}{8},h(4)=-1$ である。また $f(3)=-\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot 9+4\sqrt{2}=\frac{7\sqrt{2}}{4}$ より $f(3{)}^2=\frac{49}{8}$ である。条件$0<a<f(3)$は $0<a^2<\frac{49}{8}$ と同値である。

グラフの増減を用いて，方程式$a^2=h(t)$の解の個数を数える。

$0<a^2<5$のとき，$(0,2)$と$(2,3)$では$h(t)\geqq 5$なので解はない。一方，$(3,4)$では$h(t)$は$\frac{49}{8}$から$-1$まで減少するので，解は1個である。

$a^2=5$のとき，$t=2$が解であり，さらに$(3,4)$に1個の解がある。したがって解は2個である。

$5<a^2<\frac{49}{8}$のとき，$(0,2)$，$(2,3)$，$(3,4)$のそれぞれに1個ずつ解がある。したがって解は3個である。

以上より，求める個数は

である。