東京大学 2024年度理系数学第2問解答・解説

問題

次の関数 $f (x)$ を考える。

f (x) = \int_{0}^{1} \frac{∣ t - x ∣}{1 + t ^{2}} d t (0 ≦ x ≦ 1)

(1) $0 < α < \frac{π}{4}$ を満たす実数 $α$ で， $f^{'} (tan α) = 0$ となるものを求めよ。

(2) (1)で求めた $α$ に対し， $tan α$ の値を求めよ。

(3) 関数 $f (x)$ の区間 $0 ≦ x ≦ 1$ における最大値と最小値を求めよ。必要ならば， $0.69 < lo g 2 < 0.7$ であることを用いてよい。

出典：東京大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

絶対値を $t = x$ で分け， $0 ≦ t ≦ x$ と $x ≦ t ≦ 1$ に分解する。すると微分時に端点項が消え， $f^{'} (x) = 2 arctan x - π /4$ が得られる。(1)は $x = tan α$ を代入して $2 α - π /4 = 0$ を解く。(2)は倍角公式から $tan (π /8)$ を求める。(3)は $f (x)$ 自体を積分計算し，停留点と端点の値を比較する。最大値の端点比較では， $π > 3$ と与えられた $lo g 2 < 0.7$ を使って $f (1) > f (0)$ を確認する。

解答

(1)

$0 ≦ x ≦ 1$ に対し，絶対値を $t = x$ で分けると $f (x) = \int_{0}^{x} \frac{x - t}{1 + t ^{2}} d t + \int_{x}^{1} \frac{t - x}{1 + t ^{2}} d t$ である。これを $x$ で微分する。端点 $t = x$ での被積分関数はどちらも0になるので，端点からの項は消え， $f^{'} (x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t ^{2}} d t - \int_{x}^{1} \frac{1}{1 + t ^{2}} d t$ である。よって $f^{'} (x) = arctan x - (\frac{π}{4} - arctan x) = 2 arctan x - \frac{π}{4}$ である。

$x = tan α$ とすると， $0 < α < \frac{π}{4}$ より $arctan (tan α) = α$ である。したがって $f^{'} (tan α) = 2 α - \frac{π}{4}$ であり，これが0となるのは $α = \frac{π}{8}$ である。

(2)

$u = tan \frac{π}{8}$ とおく。 $0 < \frac{π}{8} < \frac{π}{4}$ より $u > 0$ である。倍角公式から $tan \frac{π}{4} = \frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 1$ である。したがって $1 - u^{2} = 2 u$ すなわち $u^{2} + 2 u - 1 = 0$ である。 $u > 0$ より $u = - 1 + 2$ である。よって $tan α = 2 - 1$ である。

(3)

まず $f (x)$ を計算しておく。分割した式から

f (x) = x \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 + t ^{2}} - \int_{0}^{x} \frac{t}{1 + t ^{2}} d t + \int_{x}^{1} \frac{t}{1 + t ^{2}} d t - x \int_{x}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{2}} = x arctan x - \frac{1}{2} lo g (1 + x^{2}) + \frac{1}{2} {lo g 2 - lo g (1 + x^{2})} - x (\frac{π}{4} - arctan x) = x (2 arctan x - \frac{π}{4}) + \frac{1}{2} lo g 2 - lo g (1 + x^{2})

である。

(1)より $f^{'} (x) = 2 arctan x - \frac{π}{4}$ である。 $arctan x$ は増加関数なので， $f^{'} (x) = 0$ となるのは $x = tan \frac{π}{8} = 2 - 1$ のときだけである。したがって $f (x)$ は

0 ≦ x < 2 - 1 で減少, 2 - 1 < x ≦ 1 で増加

する。よって最小値は $x = 2 - 1$ でとる。

このとき $2 arctan x - \frac{π}{4} = 0$ なので， $f (2 - 1) = \frac{1}{2} lo g 2 - lo g {1 + (2 - 1)^{2}}$ である。ここで $1 + (2 - 1)^{2} = 4 - 22$ だから

f (2 - 1) = lo g 2 - lo g (4 - 22) = lo g \frac{2}{4 - 2 2} = lo g \frac{1 + 2}{2}

である。したがって最小値は $lo g \frac{1 + 2}{2}$ である。

最大値は端点で比較すればよい。式に $x = 0, 1$ を代入すると $f (0) = \frac{1}{2} lo g 2, f (1) = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} lo g 2$ である。よって $f (1) - f (0) = \frac{π}{4} - lo g 2$ である。 $π > 3$ より $\frac{π}{4} > 0.75$ であり，問題文の $lo g 2 < 0.7$ から $\frac{π}{4} - lo g 2 > 0.75 - 0.7 > 0$ である。したがって $f (1) > f (0)$ であり，最大値は $\frac{π}{4} - \frac{1}{2} lo g 2$ である。

東京大学 2024年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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