東京大学 2024年度理系数学第1問解答・解説

問題

座標空間内の点 $A (0, - 1, 1)$ をとる。 $x y$ 平面上の点 $P$ が次の条件(i)，(ii)，(iii)をすべて満たすとする。

(i) $P$ は原点 $O$ と異なる。

(ii) $∠ A O P ≧ \frac{2}{3} π$

(iii) $∠ O A P ≦ \frac{π}{6}$

$P$ がとりうる範囲を $x y$ 平面上に図示せよ。

出典：東京大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

$P = (x, y, 0)$ とおき，角度条件を空間ベクトルの内積で不等式に直す。条件(ii)では $cos ∠ A O P ≦ - 1/2$ からまず $y ≧ 0$ が必要になり，平方して $y ≧ ∣ x ∣$ を得る。条件(iii)では $cos ∠ O A P ≧ 3 /2$ を用い，条件(ii)で得た $y ≧ 0$ により分子が正であることを確認してから平方する。最後は，扇形状の領域 $y ≧ ∣ x ∣$ と楕円 $3 x^{2} + (y - 1)^{2} ≦ 3$ の共通部分から，角度が定義できない原点を除くと説明する。

解答

$P = (x, y, 0)$ とおく。条件(i)より $(x, y) \neq = (0, 0)$ である。

条件(ii)について

$O A = (0, - 1, 1), O P = (x, y, 0)$ であるから，

cos ∠ A O P = \frac{O A \cdot O P}{∣ O A ∣ ∣ O P ∣} = \frac{- y}{2 x ^{2} + y ^{2}}

である。条件(ii)は $∠ A O P ≧ \frac{2 π}{3}$ なので，余弦の値について $\frac{- y}{2 x ^{2} + y ^{2}} ≦ - \frac{1}{2}$ が成り立つ。右辺が負であるため，この不等式が成り立つには $y ≧ 0$ でなければならない。そこで両辺を移項して $\frac{y}{2 x ^{2} + y ^{2}} ≧ \frac{1}{2}$ とし，両辺が0以上であることを確認して平方する。すると $\frac{y ^{2}}{2 ( x ^{2} + y ^{2} )} ≧ \frac{1}{4}$ より $2 y^{2} ≧ x^{2} + y^{2}$ すなわち $y^{2} ≧ x^{2}$ である。 $y ≧ 0$ と合わせて $y ≧ ∣ x ∣$ を得る。

条件(iii)について

$A O = (0, 1, - 1), A P = (x, y + 1, - 1)$ である。したがって

cos ∠ O A P = \frac{A O \cdot A P}{∣ A O ∣ ∣ A P ∣} = \frac{y + 2}{2 x ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} + 1}

である。条件(ii)から $y ≧ 0$ が分かっているので， $y + 2 > 0$ である。条件(iii)より $\frac{y + 2}{2 x ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} + 1} ≧ \frac{3}{2}$ であり，両辺は正なので平方してよい。平方すると $2 (y + 2)^{2} ≧ 3 {x^{2} + (y + 1)^{2} + 1}$ である。これを整理すると $2 (y^{2} + 4 y + 4) ≧ 3 x^{2} + 3 (y^{2} + 2 y + 1) + 3$ すなわち $3 x^{2} + (y - 1)^{2} ≦ 3$ となる。

以上より，求める範囲は $y ≧ ∣ x ∣, 3 x^{2} + (y - 1)^{2} ≦ 3$ を同時に満たす $x y$ 平面上の点全体から，原点 $O$ を除いた部分である。図示すると，直線 $y = x$ ， $y = - x$ に挟まれた上向きの領域と，中心 $(0, 1)$ の楕円 $3 x^{2} + (y - 1)^{2} = 3$ の内部との共通部分であり，境界は含む。ただし原点だけは条件(i)により除く。

% 図は省略

東京大学 2024年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

条件(ii)について

条件(iii)について

東京大学 2024年度
理系数学第1問