東京大学 2020年度理系数学第6問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $A$ ， $α$ を実数とする。 $θ$ の方程式

A sin 2 θ - sin (θ + α) = 0

を考える。 $A > 1$ のとき，この方程式は $0 ≦ θ < 2 π$ の範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ。

(2) 座標平面上の楕円

C : \frac{x ^{2}}{2} + y^{2} = 1

を考える。また， $0 < r < 1$ を満たす実数 $r$ に対して，不等式

2 x^{2} + y^{2} < r^{2}

が表す領域をDとする。D内のすべての点Pが以下の条件を満たすような実数 $r (0 < r < 1)$ が存在することを示せ。また，そのような $r$ の最大値を求めよ。
条件：C上の点Qで，QにおけるCの接線と直線PQが直交するようなものが少なくとも4個ある。

出典：東京大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

(1)は $θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$ で $A sin 2 θ$ が $A, - A, A, - A$ となることを使い、 $A > 1$ により符号を固定して中間値の定理を4区間に適用する。(2)は楕円上の点を $Q = (2 cos θ, sin θ)$ とおき、 $P Q$ が法線方向にある条件を三角方程式にする。点 $P = (u, v)$ について $2 u^{2} + v^{2} < 1/4$ なら(1)が使える。最大性は $r > 1/2$ のとき、特定の $P$ をD内に取り、法線が2本しかないことを示して否定する。

解答

(1)

$F (θ) = A sin 2 θ - sin (θ + α)$ とおく。 $F$ は連続関数である。 $A > 1$ であり、 $- 1 ≦ sin (θ + α) ≦ 1$ だから、 $F (\frac{π}{4}) = A - sin (\frac{π}{4} + α) > 0,$ $F (\frac{3 π}{4}) = - A - sin (\frac{3 π}{4} + α) < 0,$ $F (\frac{5 π}{4}) = A - sin (\frac{5 π}{4} + α) > 0,$ $F (\frac{7 π}{4}) = - A - sin (\frac{7 π}{4} + α) < 0$ である。また $F$ は周期 $2 π$ をもつので、 $F (\frac{9 π}{4}) = F (\frac{π}{4}) > 0$ である。

よって中間値の定理により、

(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}), (\frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}), (\frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}), (\frac{7 π}{4}, \frac{9 π}{4})

のそれぞれに解が存在する。最後の区間の解が $2 π$ より大きい場合は、周期 $2 π$ により $0 ≦ θ < π /4$ の解に移せる。したがって $0 ≦ θ < 2 π$ に少なくとも4個の解をもつ。

(2)

楕円 $C$ 上の点を $Q = (2 cos θ, sin θ)$ とおく。楕円 $\frac{x ^{2}}{2} + y^{2} = 1$ の $Q$ における法線方向は $(2 cos θ, 2 sin θ)$ である。点 $P = (u, v)$ に対して、直線 $P Q$ が接線と直交することは、 $P - Q$ がこの法線方向と平行であることと同値である。

平行条件を行列式で書くと $(u - 2 cos θ) 2 sin θ - (v - sin θ) 2 cos θ = 0$ である。整理して $sin 2 θ - 22 u sin θ + 2 v cos θ = 0$ を得る。

まず $P = O$ のとき、この式は $sin 2 θ = 0$ となり、 $0 ≦ θ < 2 π$ に4個の解をもつ。

$P \neq = O$ とする。 $R = 2 2 u^{2} + v^{2}$ とおくと、 $- 22 u sin θ + 2 v cos θ$ は、ある実数 $α$ を用いて $- R sin (θ + α)$ と書ける。したがって法線条件は $sin 2 θ - R sin (θ + α) = 0$ となる。

もし $2 u^{2} + v^{2} < \frac{1}{4}$ なら $R < 1$ である。この方程式を $R$ で割ると $\frac{1}{R} sin 2 θ - sin (θ + α) = 0$ となり、 $1/ R > 1$ なので(1)を適用できる。よって少なくとも4個の解 $θ$ が存在し、対応する点 $Q$ も少なくとも4個ある。

したがって、 $0 < r ≦ 1/2$ なら、D内の任意の点 $P = (u, v)$ について $2 u^{2} + v^{2} < r^{2} ≦ \frac{1}{4}$ が成り立つので、条件を満たす。

次に、 $r > 1/2$ では条件が成り立たないことを示す。 $1/2 < ρ < r$ をとり、 $P = (\frac{ρ}{2}, \frac{ρ}{2})$ とする。このとき $2 (\frac{ρ}{2})^{2} + (\frac{ρ}{2})^{2} = ρ^{2} < r^{2}$ なので $P$ はD内にある。

この $P$ について法線条件は $sin 2 θ - 2 ρ sin (θ - \frac{π}{4}) = 0$ となる。 $ϕ = θ - π /4$ とおくと、 $sin 2 θ = sin (2 ϕ + π /2) = cos 2 ϕ$ だから $cos 2 ϕ = 2 ρ sin ϕ$ である。すなわち $1 - 2 sin^{2} ϕ = 2 ρ sin ϕ$ であり、 $2 sin^{2} ϕ + 2 ρ sin ϕ - 1 = 0$ を得る。この二次方程式の解は $sin ϕ = \frac{- ρ \pm ρ ^{2} + 2}{2}$ である。 $ρ > 1/2$ のとき、負号をとった解は $- 1$ より小さく、 $sin ϕ$ の値として不適である。したがって許される $sin ϕ$ の値は1つだけであり、それに対応する $0 ≦ θ < 2 π$ の解は2個だけである。

よって $r > 1/2$ では、D内に条件を満たさない点 $P$ が存在する。以上から、求める最大値は $\frac{1}{2}$ である。

東京大学 2020年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2020年度
理系数学第6問