東京大学 2020年度
理系数学 第1問

解答

3つの不等式を同時に満たす実数$x$の集合を$S$とする。仮定より $S=\{x\mid x>p\}$ である。

(1)

十分大きい正の$x$は$x>p$を満たすので、3つの不等式をすべて満たす。第1の二次式 $a{x}^2+bx+c$ について、もし$a<0$なら$x\to \infty$でこの式は$-\infty$に向かうため、十分大きい正の$x$で正にならない。これは仮定に反する。よって$a\geqq 0$である。

同様に、第2、第3の二次式の$x^2$の係数を見れば $b\geqq 0,c\geqq 0$ も従う。したがって $\boxed{a,b,c\geqq 0}$ である。

(2)

反対に、$a,b,c$がすべて正であると仮定する。このとき$x=0$を代入すると、3つの式はそれぞれ $c,a,b$ となり、いずれも正である。よって$0\in S$であり、$0>p$、すなわち$p<0$である。

一方、$a,b,c$がすべて正なら、$x\to -\infty$のとき3つの二次式はいずれも正の二次項に支配されて$+\infty$に向かう。したがって十分大きな負の$x$、特に$x\leqq p$となるような負の$x$でも3つの不等式がすべて成り立つ。これは$S=\{x\mid x>p\}$に反する。

よって$a,b,c$のうち少なくとも1個は0である。

(3)

(1)(2)より、$a,b,c$はすべて0以上で、少なくとも1個は0である。また、もし$a=b=c=0$なら3つの不等式はいずれも$0>0$となり、解集合は空集合である。しかし仮定の集合$\{x\mid x>p\}$は空でない。したがって$a,b,c$のうち少なくとも1個は正である。

まず$x>0$とする。各二次式は、非負係数$a,b,c$に正の数$x^2,x,1$を掛けて足したものであり、しかも$a,b,c$の少なくとも1個は正である。したがって3つの二次式はいずれも正である。よって $x>0\Rightarrow x\in S$ である。

次に$x=0$では、3つの式は$c,a,b$である。少なくとも1個は0なので、3つの不等式をすべて満たすことはできない。よって$0\notin S$である。

最後に$x<0$を考え、$t=-x>0$とおく。少なくとも1個の係数が0であるから、場合分けする。

$c=0$なら、第1、第3の不等式は $a{t}^2-bt>0,-at+b>0$ を含む。前者は$t(at-b)>0$より$at>b$、後者は$b>at$を意味し、矛盾する。

$a=0$なら、第2、第1の不等式から $b{t}^2-ct>0,-bt+c>0$ となり、$bt>c$と$c>bt$が同時に必要になって矛盾する。$b=0$の場合も同様に、第3、第2の不等式から$ct>a$と$a>ct$が同時に必要になり矛盾する。

したがって$x<0$は$S$に含まれない。以上より $S=\{x\mid x>0\}$ である。仮定では$S=\{x\mid x>p\}$だから、$\boxed{p=0}$ である。