東京大学 2020年度理系数学第3問解答・解説

問題

$- 1 ≦ t ≦ 1$ を満たす実数 $t$ に対して，

x (t) = (1 + t) 1 + t

y (t) = 3 (1 + t) 1 - t

とする。座標平面上の点 $P (x (t), y (t))$ を考える。

(1) $- 1 < t ≦ 1$ における $t$ の関数 $\frac{y ( t )}{x ( t )}$ は単調に減少することを示せ。

(2) 原点と $P$ の距離を $f (t)$ とする。 $- 1 ≦ t ≦ 1$ における $t$ の関数 $f (t)$ の増減を調べ，最大値を求めよ。

(3) $t$ が $- 1 ≦ t ≦ 1$ を動くときの $P$ の軌跡を $C$ とし， $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域を $D$ とする。原点を中心として $D$ を時計回りに $90^{\circ}$ 回転させるとき， $D$ が通過する領域の面積を求めよ。

出典：東京大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

(1)は $y (t) / x (t) = 3 (1 - t) / (1 + t)$ を直接見る。(2)は距離そのものではなく二乗 $F (t) = f (t)^{2}$ を微分して増減を調べる。(3)では、(1)により原点から見た偏角が単調に動くので、領域 $D$ は原点から各方向へ境界曲線まで伸びる形になる。回転で通過する領域は、半径の最大値をもつ方向を中心に、角度 $9 0^{\circ}$ 分だけ最大半径の扇形が挟まると捉え、 $D$ の面積と扇形面積を足す。

解答

(1)

$- 1 < t ≦ 1$ では $x (t) > 0$ であり、

\frac{y ( t )}{x ( t )} = \frac{3 ( 1 + t ) 1 - t}{( 1 + t ) 1 + t} = 3 \frac{1 - t}{1 + t}

である。ここで $\frac{1 - t}{1 + t}$ は $- 1 < t ≦ 1$ で $t$ が増えるにつれて単調に減少する。平方根も単調性を保つので、 $y (t) / x (t)$ は単調に減少する。

(2)

距離 $f (t)$ の二乗を $F (t) = f (t)^{2} = x (t)^{2} + y (t)^{2}$ とおく。計算すると

F (t) = (1 + t)^{3} + 9 (1 + t)^{2} (1 - t) = (1 + t)^{2} {(1 + t) + 9 (1 - t)} = 2 (1 + t)^{2} (5 - 4 t) .

微分すると $F^{'} (t) = 12 (1 + t) (1 - 2 t)$ である。区間 $- 1 ≦ t ≦ 1$ では $1 + t ≧ 0$ なので、 $F (t)$ は $- 1 ≦ t ≦ \frac{1}{2}$ で増加し、 $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ で減少する。 $f (t) ≧ 0$ であるから、 $f (t)$ も同じ増減をする。

最大値は $t = 1/2$ で生じ、 $F (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{3}{2})^{2} \cdot 3 = \frac{27}{2}$ である。したがって $f (t) の最大値 = \frac{27}{2} = \frac{3 6}{2}$ である。

(3)

(1)より、点 $P$ を原点から見た偏角は $t$ が増えるにつれて単調に減少する。 $t = - 1$ で原点、 $t = 1$ で $x$ 軸上の点に至るので、領域 $D$ は各方向について原点から曲線 $C$ までの線分を集めた形である。

まず $D$ の面積を求める。 $x (t) = (1 + t)^{3/2}$ より $\frac{d x}{d t} = \frac{3}{2} 1 + t$ である。したがって

S_{D} = \int_{- 1}^{1} y (t) \frac{d x}{d t} d t = \frac{9}{2} \int_{- 1}^{1} (1 + t)^{3/2} (1 - t)^{1/2} d t .

ここで $t = 2 u - 1$ とおくと、 $0 ≦ u ≦ 1$ で $(1 + t)^{3/2} (1 - t)^{1/2} d t = 8 u^{3/2} (1 - u)^{1/2} d u$ となる。さらに $u = sin^{2} ϕ$ とおけば $\int_{- 1}^{1} (1 + t)^{3/2} (1 - t)^{1/2} d t = \frac{π}{2}$ が得られる。よって $S_{D} = \frac{9 π}{4}$ である。

次に、回転で新しく通過する部分を考える。(2)より、原点から点 $P$ までの距離の最大値は $R = \frac{3 6}{2}$ であり、このとき $t = 1/2$ である。また $\frac{y ( 1/2 )}{x ( 1/2 )} = 3$ だから、その方向の偏角は $π /3$ である。

時計回りに $9 0^{\circ}$ 回転させる間、原点から見た各方向で最も遠くまで届く半径を考える。偏角が単調に動くため、最大半径 $R$ をもつ点は、角度 $π /3$ から時計回りに $π /2$ だけ動き、角度 $- π /6$ までを掃く。この間の通過領域は、半径 $R$ 、中心角 $π /2$ の扇形を1つ加えることに対応する。残りの部分は、もとの $D$ の各方向の半径が回転によって移るだけで、面積としては $D$ の面積に対応する。

したがって通過領域の面積は

S_{D} + \frac{1}{2} R^{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{9 π}{4} + \frac{1}{2} (\frac{3 6}{2})^{2} \cdot \frac{π}{2}

である。計算して $\frac{9 π}{4} + \frac{27 π}{8} = \frac{45 π}{8}$ を得る。

東京大学 2020年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2020年度
理系数学第3問