問題
平面上の点が同一直線上にないとき，それらを3頂点とする三角形の面積をで表す。また，が同一直線上にあるときは，とする。
を平面上の3点とし，とする。この平面上の点が
を満たしながら動くとき，の動きうる範囲の面積を求めよ。
出典：東京大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
面積比を保つ一次的な座標変換で、三角形をに置く。に対しとおくと、3つの面積の和はになる。したがって、の表す六角形の面積をで求め、差を取る。最後にからへの面積倍率2を掛ける。
解答
面積比を保つ座標変換により、 としてよい。このときである。とし、 とおく。
それぞれの面積を計算すると、 である。また、を底辺として行列式で計算すると であり、同様に である。したがって条件は となる。
に対して が表す領域を考える。この領域は、直線、、によって区切られる6つの部分で一次不等式になり、頂点は順に
である。
この六角形の面積を求める。、とおくと、六角形は正方形 から、右上の直角二等辺三角形と左下の直角二等辺三角形を除いた図形である。正方形の一辺は、除く三角形の面積はそれぞれ、であるから、平面での面積は
である。
もとの座標では、なので、面積は平面での面積の2倍になる。したがって に対応するもとの平面での面積は である。
求める領域はの領域からの領域を除いたものなので、面積は
である。