東京大学 2020年度理系数学第5問解答・解説

問題

座標空間において， $x y$ 平面上の原点を中心とする半径1の円を考える。この円を底面とし，点 $(0, 0, 2)$ を頂点とする円錐（内部を含む）をSとする。また，点 $A (1, 0, 2)$ を考える。

(1) 点PがSの底面を動くとき，線分APが通過する部分をTとする。平面 $z = 1$ によるSの切り口および，平面 $z = 1$ によるTの切り口を同一平面上に図示せよ。

(2) 点PがSを動くとき，線分APが通過する部分の体積を求めよ。

出典：東京大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

(1)は高さ $z = 1$ の断面を見る。円錐 $S$ の断面は相似により原点中心半径 $1/2$ の円板で、底面上の点と $A$ を結ぶ線分の中点全体は $(1/2, 0)$ 中心半径 $1/2$ の円板になる。(2)は高さ $z$ で切る。 $S$ 内の高さ $w$ の点と $A$ を結んだ線分が高さ $z$ に作る断面は、半径 $1 - z /2$ の円板で、中心が $x$ 軸上の区間 $0 ≦ x ≦ z /2$ を動く和集合になる。つまりカプセル形の断面積を積分する。

解答

(1)

円錐 $S$ は、頂点が $(0, 0, 2)$ 、底面が $z = 0$ 上の半径1の円板である。高さ $z = 1$ は頂点と底面の中間なので、 $S$ の切り口は原点を中心とする半径 $1/2$ の円板である。

次に $T$ を考える。底面上の点を $P = (u, v, 0) (u^{2} + v^{2} ≦ 1)$ とする。 $A = (1, 0, 2)$ と $P$ を結ぶ線分のうち、平面 $z = 1$ 上にある点は中点であり、 $(\frac{1 + u}{2}, \frac{v}{2}, 1)$ である。したがって $z = 1$ 平面上で見ると、 $T$ の切り口は $(x - \frac{1}{2})^{2} + y^{2} ≦ (\frac{1}{2})^{2}$ で表される円板である。

よって同一平面上には、原点中心半径 $1/2$ の円板と、 $(1/2, 0)$ 中心半径 $1/2$ の円板を描けばよい。2つの円板は原点と $(1/2, 0)$ を結ぶ方向に半径1個分だけずれており、互いに接するのではなく重なりをもつ。

% 図は省略

(2)

$0 ≦ z ≦ 2$ で平面 $z = 1$ ではなく一般の高さ $z$ による断面を考える。円錐 $S$ の高さ $z$ での切り口は、原点中心、半径 $R = 1 - \frac{z}{2}$ の円板である。

点 $P$ が $S$ 全体を動くとき、 $P$ の高さを $w$ とする。高さ $w$ の $S$ の切り口は半径 $1 - w /2$ の円板である。 $A$ とその点を結ぶ線分が高さ $z$ で切られると、縮小率の計算により半径は $\frac{2 - z}{2 - w} (1 - \frac{w}{2}) = 1 - \frac{z}{2} = R$ となり、高さ $w$ が $0$ から $z$ まで動くにつれて中心は $x$ 軸上の $0 ≦ x ≦ \frac{z}{2}$ を動く。したがって高さ $z$ での断面は、半径 $R$ の円板を長さ $z /2$ だけ平行移動した和集合である。

この断面は、半径 $R$ の円2つを長さ $z /2$ の長方形でつないだ形であり、断面積は

π R^{2} + 2 R \cdot \frac{z}{2} = π (1 - \frac{z}{2})^{2} + z (1 - \frac{z}{2})

である。よって求める体積は

V = \int_{0}^{2} {π (1 - \frac{z}{2})^{2} + z (1 - \frac{z}{2})} d z = \frac{2 π}{3} + \frac{2}{3} = \frac{2 ( π + 1 )}{3} .

東京大学 2020年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2020年度
理系数学第5問