東京大学 2012年度理系数学第6問解答・解説

問題

2×2行列 $P = (p r q s)$ に対して

T r (P) = p + s

と定める。

$a$ ， $b$ ， $c$ は $a ≧ b > 0$ ， $0 ≦ c ≦ 1$ を満たす実数とする。行列 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ を次で定める。

A = (a 0 0 b), B = (b 0 0 a), C = (a^{c} 0 0 b^{c}), D = (b^{1 - c} 0 0 a^{1 - c})

また実数 $x$ に対し

U (x) = (cos x sin x - sin x cos x)

とする。

このとき以下の問いに答えよ。

(1) 各実数 $t$ に対して， $x$ の関数

f (x) = T r ((U (t) A U (- t) - B) U (x) (10 0 - 1) U (- x))

の最大値 $m (t)$ を求めよ。(ただし，最大値をとる $x$ を求める必要はない。)

(2) すべての実数 $t$ に対し

2 T r (U (t) C U (- t) D) ≧ T r (U (t) A U (- t) + B) - m (t)

が成り立つことを示せ。

出典：東京大学 2012年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

$J = (10 0 - 1)$ とおき、 $U (y) J U (- y)$ を直接計算して $cos 2 y, sin 2 y$ の行列にする。 $A, B$ は平均部分と差の部分に分けると、平均部分が打ち消えて $U (t) A U (- t) - B$ は $J$ 型の行列だけで表せる。これにより $f (x)$ は $2 (a - b) cos t cos (t - 2 x)$ となり、最大値は絶対値で決まる。(2)は両辺を直接計算し、 $u = ∣ cos t ∣$ と置いて1変数不等式に直す。最後は $a^{c} b^{1 - c} ≧ b$ 、 $b^{c} a^{1 - c} ≧ b$ を使って括弧内が非負であることを示す。

解答

(1)

J = (10 0 - 1)

とおく。まず $U (y) J U (- y)$ を直接計算する。 $U (- y) = (cos y - sin y sin y cos y)$ なので

U (y) J U (- y) = (cos 2 y sin 2 y sin 2 y - cos 2 y)

である。

また

A = \frac{a + b}{2} I + \frac{a - b}{2} J, B = \frac{a + b}{2} I - \frac{a - b}{2} J

である。ただし $I$ は2次単位行列である。 $U (t) I U (- t) = I$ だから $U (t) A U (- t) - B = \frac{a - b}{2} {U (t) J U (- t) + J}$ である。

したがって $f (x) = \frac{a - b}{2} T r ({U (t) J U (- t) + J} U (x) J U (- x))$ である。ここで上の表示から $T r {U (t) J U (- t) U (x) J U (- x)} = 2 cos (2 t - 2 x)$ であり、また $T r {J U (x) J U (- x)} = 2 cos 2 x$ である。よって $f (x) = (a - b) {cos (2 t - 2 x) + cos 2 x}$ となる。和積公式より $cos (2 t - 2 x) + cos 2 x = 2 cos t cos (t - 2 x)$ だから $f (x) = 2 (a - b) cos t cos (t - 2 x)$ である。 $x$ が実数全体を動くとき、 $cos (t - 2 x)$ は $- 1$ から $1$ までの値をとる。また $a ≧ b$ なので $a - b ≧ 0$ である。したがって最大値は $m (t) = 2 (a - b) ∣ cos t ∣$ である。

(2)

まず、跡 $T r$ は対角成分の和なので $T r (U (t) A U (- t)) = T r (A) = a + b$ である。したがって $T r (U (t) A U (- t) + B) = 2 (a + b)$ である。

次に $T r (U (t) C U (- t) D)$ を計算する。 $C$ は対角行列なので、 $U (t) C U (- t)$ の対角成分は $a^{c} cos^{2} t + b^{c} sin^{2} t, a^{c} sin^{2} t + b^{c} cos^{2} t$ である。 $D = (b^{1 - c} 0 0 a^{1 - c})$ を右からかけた行列の対角成分の和をとると

T r (U (t) C U (- t) D) = b^{1 - c} (a^{c} cos^{2} t + b^{c} sin^{2} t) + a^{1 - c} (a^{c} sin^{2} t + b^{c} cos^{2} t) = (a^{c} b^{1 - c} + b^{c} a^{1 - c}) cos^{2} t + (a + b) sin^{2} t

である。

(1)より $m (t) = 2 (a - b) ∣ cos t ∣$ であるから、示すべき不等式は $2 {(a^{c} b^{1 - c} + b^{c} a^{1 - c}) cos^{2} t + (a + b) sin^{2} t}$ $≧ 2 (a + b) - 2 (a - b) ∣ cos t ∣$ と同値である。両辺を2で割り、 $u = ∣ cos t ∣ (0 ≦ u ≦ 1)$ とおくと、 $cos^{2} t = u^{2}$ 、 $sin^{2} t = 1 - u^{2}$ だから $(a^{c} b^{1 - c} + b^{c} a^{1 - c}) u^{2} + (a + b) (1 - u^{2}) ≧ (a + b) - (a - b) u$ を示せばよい。左辺から右辺を引くと $u {(a - b) + u (a^{c} b^{1 - c} + b^{c} a^{1 - c} - a - b)}$ である。

ここで $X = a^{c} b^{1 - c} + b^{c} a^{1 - c} - a - b$ とおく。 $a ≧ b > 0$ 、 $0 ≦ c ≦ 1$ より $a^{c} b^{1 - c} = b (\frac{a}{b})^{c} ≧ b$ であり、同様に $b^{c} a^{1 - c} = b (\frac{a}{b})^{1 - c} ≧ b$ である。 $X ≧ 0$ のときは $(a - b) + u X ≧ a - b ≧ 0$ である。 $X < 0$ のときは、 $0 ≦ u ≦ 1$ だから $u X ≧ X$ であり、 $(a - b) + u X ≧ (a - b) + X$ である。右辺は $(a - b) + X = a^{c} b^{1 - c} + b^{c} a^{1 - c} - 2 b$ であり、上で示した2つの不等式からこれは0以上である。

したがって、どちらの場合も $(a - b) + u X ≧ 0$ である。さらに $u ≧ 0$ だから $u {(a - b) + u X} ≧ 0$ となる。よって、すべての実数 $t$ に対して $2 T r (U (t) C U (- t) D) ≧ T r (U (t) A U (- t) + B) - m (t)$ が成り立つ。

東京大学 2012年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2012年度
理系数学第6問