東京大学 2012年度
理系数学 第4問

解答

(1)

連続する2個の自然数を $k,k+1$ とする。この2数は互いに素である。

仮に $k(k+1)=a^n$ となる自然数 $a$ が存在するとする。$k$ と $k+1$ は互いに素なので、素因数分解において $k$ に現れる素数と $k+1$ に現れる素数は重ならない。積 $k(k+1)$ が $n$ 乗数なら、各素数の指数はすべて $n$ の倍数であるから、$k$ と $k+1$ はそれぞれ $n$ 乗数でなければならない。

したがって $k=u^n,k+1=v^n$ と書ける。すると $v>u\geqq 1$ であり、$v^n-u^n\geqq (u+1{)}^n-u^n$ である。$n\geqq 2$ だから $(u+1{)}^n-u^n>1$ である。一方、$v^n-u^n=(k+1)-k=1$ なので矛盾する。よって連続する2個の自然数の積は $n$ 乗数ではない。

(2)

$n=2$ のときは(1)そのものである。以下では $n\geqq 3$ とする。

連続する $n$ 個の自然数を $k,k+1,\dots ,k+n-1$ とし、その積が $n$ 乗数であると仮定する。すなわち $k(k+1)\cdots (k+n-1)=a^n$ となる自然数 $a$ が存在するとする。

左辺の各因数は $k$ 以上であり、しかも $k+1$ 以上の因数も含むので $k^n<a^n$ である。したがって $k<a$ である。また、各因数は $k+n-1$ 以下であり、しかも $k+n-2$ 以下の因数も含むので $a^n<(k+n-1{)}^n$ である。したがって $a<k+n-1$ である。以上より $k<a<k+n-1$ を得る。 $a$ は整数で $n\geqq 3$ だから $k+1\leqq a\leqq k+n-2$ である。よって $a+1\in \{k,k+1,\dots ,k+n-1\}$ である。

ここで $a+1>1$ なので、$a+1$ はある素数 $p$ で割り切れる。この $a+1$ は左辺の因数の1つであるから、$p$ は左辺 $k(k+1)\cdots (k+n-1)$ を割る。ところが左辺は $a^n$ に等しいので、$p$ は $a^n$ を割り、したがって $a$ を割る。

一方、$p$ は $a+1$ も割るので、$p$ は $(a+1)-a=1$ を割ることになる。これは素数 $p$ について不可能である。よって仮定は誤りであり、連続する $n$ 個の自然数の積は $n$ 乗数ではない。