東京大学 2012年度理系数学第3問解答・解説

問題

座標平面上で2つの不等式

y ≧ \frac{1}{2} x^{2}, \frac{x ^{2}}{4} + 4 y^{2} ≦ \frac{1}{8}

によって定まる領域を $S$ とする。 $S$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を $V_{1}$ とし， $y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を $V_{2}$ とする。

(1) $V_{1}$ と $V_{2}$ の値を求めよ。

(2) $\frac{V _{2}}{V _{1}}$ の値と1の大小を判定せよ。

出典：東京大学 2012年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

まず放物線と楕円上半分の交点を求め、領域 $S$ を $- 1/2 ≦ x ≦ 1/2$ で上下の関数にはさまれた領域として表す。 $x$ 軸回転では外半径が楕円上半分、内半径が放物線なので、円板の差を積分する。 $y$ 軸回転では、領域が $y$ 軸対称であることを使って $x ≧ 0$ 側の縦の細片を回転する円筒殻で積分する。最後に $V_{2} / V_{1}$ を整理し、両辺が正であることを確認して平方比較により1との大小を判定する。

解答

(1)

まず2つの境界の交点を求める。放物線 $y = x^{2} /2$ を楕円 $\frac{x ^{2}}{4} + 4 y^{2} = \frac{1}{8}$ に代入すると $\frac{x ^{2}}{4} + 4 (\frac{x ^{2}}{2})^{2} = \frac{1}{8}$ すなわち $\frac{x ^{2}}{4} + x^{4} = \frac{1}{8}$ である。 $X = x^{2}$ とおくと $8 X^{2} + 2 X - 1 = 0$ となり、 $(4 X - 1) (2 X + 1) = 0$ である。 $X ≧ 0$ だから $X = 1/4$ 、すなわち $x = \pm \frac{1}{2}$ で交わる。

楕円の上半分は $4 y^{2} = \frac{1}{8} - \frac{x ^{2}}{4} = \frac{1 - 2 x ^{2}}{8}$ より $y = \frac{1 - 2 x ^{2}}{4 2}$ である。したがって領域 $S$ は

- \frac{1}{2} ≦ x ≦ \frac{1}{2}, \frac{x ^{2}}{2} ≦ y ≦ \frac{1 - 2 x ^{2}}{4 2}

で表される。 $x$ 軸のまわりに回転すると、外半径は $1 - 2 x^{2} / (42)$ 、内半径は $x^{2} /2$ である。よって

V_{1} = π \int_{- 1/2}^{1/2} ⎩ ⎨ ⎧ (\frac{1 - 2 x ^{2}}{4 2})^{2} - (\frac{x ^{2}}{2})^{2} ⎭ ⎬ ⎫ d x

である。被積分関数を整理すると

(\frac{1 - 2 x ^{2}}{4 2})^{2} - (\frac{x ^{2}}{2})^{2} = \frac{1 - 2 x ^{2}}{32} - \frac{x ^{4}}{4}

なので

V_{1} = π \int_{- 1/2}^{1/2} (\frac{1}{32} - \frac{x ^{2}}{16} - \frac{x ^{4}}{4}) d x

である。偶関数であることを用いて計算すると

V_{1} = 2 π [\frac{x}{32} - \frac{x ^{3}}{48} - \frac{x ^{5}}{20}]_{0}^{1/2} = \frac{11 π}{480}

である。

次に $y$ 軸のまわりに回転する体積を求める。 $S$ は $y$ 軸対称なので、 $0 ≦ x ≦ 1/2$ の部分を円筒殻で回転すればよい。半径は $x$ 、高さは $\frac{1 - 2 x ^{2}}{4 2} - \frac{x ^{2}}{2}$ であるから

V_{2} = 2 π \int_{0}^{1/2} x (\frac{1 - 2 x ^{2}}{4 2} - \frac{x ^{2}}{2}) d x

である。ここで

\int x \frac{1 - 2 x ^{2}}{4 2} d x = - \frac{( 1 - 2 x ^{2} ) ^{3/2}}{24 2}, \int \frac{x ^{3}}{2} d x = \frac{x ^{4}}{8}

だから

V_{2} = 2 π [- \frac{( 1 - 2 x ^{2} ) ^{3/2}}{24 2} - \frac{x ^{4}}{8}]_{0}^{1/2}

である。代入して整理すると $V_{2} = \frac{( 8 2 - 7 ) π}{192}$ である。

(2)

(1)より

\frac{V _{2}}{V _{1}} = \frac{( 8 2 - 7 ) π}{192} \cdot \frac{480}{11 π} = \frac{40 2 - 35}{22}

である。これが1より小さいかどうかは $402 - 35 < 22$ すなわち $402 < 57$ と同値である。両辺は正であり、平方すると $(402)^{2} = 3200, 5 7^{2} = 3249$ であるから $402 < 57$ が成り立つ。したがって $\frac{V _{2}}{V _{1}} < 1$ である。

東京大学 2012年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2012年度
理系数学第3問