問題
次の連立不等式で定まる座標平面上の領域を考える。
直線は原点を通り，との共通部分が線分となるものとする。その線分の長さの最大値を求めよ。また，が最大値をとるとき，軸とのなす角 の余弦を求めよ。
出典：東京大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
原点を通る直線を、 軸となす角 と原点からの距離 で表す。円 との交点は と であり、半平面 は直線上で という下限を与える。したがって共通部分の長さを として書き、存在条件の境界では になることを確認したうえで内部の停留点を求める。停留条件は に直して解く。
解答
直線 は原点を通り、領域 との共通部分が第1象限側の線分になる。 と 軸のなす角を とし、直線上の点を原点からの距離 を用いて と表す。
まず円 に代入すると である。展開すると すなわち となる。したがって円の内部にある直線上の部分は である。
次に半平面条件 は であり、 だから となる。よって共通部分が線分として存在するとき、その長さは である。存在条件の境界では右辺が0になり、最大は内部で起こる。
微分すると である。内部の最大点では なので である。両辺は正であるから、平方してよい。 とおくと 、 であり、 すなわち を得る。左辺は と因数分解でき、 であるから である。したがって であり、 より である。
このとき であるから
である。