東京大学 2010年度理系数学第6問解答・解説

問題

四面体 $O A B C$ において，4つの面はすべて合同であり， $O A = 3$ ， $O B = 7$ ， $A B = 2$ であるとする。また，3点 $O$ ， $A$ ， $B$ を含む平面を $L$ とする。

(1) 点 $C$ から平面 $L$ におろした垂線の足を $H$ とおく。 $O H$ を $O A$ と $O B$ を用いて表せ。

(2) $0 < t < 1$ をみたす実数 $t$ に対して，線分 $O A$ ， $O B$ 各々を $t : 1 - t$ に内分する点をそれぞれ $P_{t}$ ， $Q_{t}$ とおく。2点 $P_{t}$ ， $Q_{t}$ を通り，平面 $L$ に垂直な平面を $M$ とするとき，平面 $M$ による四面体 $O A B C$ の切り口の面積 $S (t)$ を求めよ。

(3) $t$ が $0 < t < 1$ の範囲を動くとき， $S (t)$ の最大値を求めよ。

出典：東京大学 2010年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

4面合同から向かい合う辺の長さが等しいことを用い， $O C = 2$ ， $A C = 7$ ， $B C = 3$ として内積を求める。(1) は $O H = α O A + β O B$ とおき， $C H$ が平面 $L$ に垂直である条件を内積0で立てる。(2) は平面 $M$ が $L$ に垂直なので， $M$ 内で平面 $L$ からの高さを変数にして切り口の水平線分の長さを積分する。 $H$ の位置により，切り口の上端がどの面に当たるかが $t = 2/9$ で切り替わる。

解答

(1) 4つの面がすべて合同であるから，向かい合う辺の長さは等しい。面 $O A B$ の辺の長さが $O A = 3, O B = 7, A B = 2$ であることから $O C = A B = 2, A C = O B = 7, B C = O A = 3$ である。

a = O A, b = O B, c = O C

とおく。まず $∣ a ∣^{2} = 9, ∣ b ∣^{2} = 7, ∣ c ∣^{2} = 4$ である。また $A B^{2} = ∣ b - a ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2 a \cdot b$ より $4 = 9 + 7 - 2 a \cdot b$ だから $a \cdot b = 6$ である。同様に $A C^{2} = ∣ c - a ∣^{2} = 7$ より $7 = 9 + 4 - 2 a \cdot c$ なので $a \cdot c = 3$ である。また $B C^{2} = ∣ c - b ∣^{2} = 9$ より $9 = 7 + 4 - 2 b \cdot c$ なので $b \cdot c = 1$ である。

点 $H$ は平面 $L$ 上にあるから $O H = α a + β b$ とおける。さらに $C H$ は平面 $L$ に垂直なので

(c - α a - β b) \cdot a = 0, (c - α a - β b) \cdot b = 0

である。内積を代入すると $3 - 9 α - 6 β = 0, 1 - 6 α - 7 β = 0$ すなわち $9 α + 6 β = 3, 6 α + 7 β = 1$ である。これを解くと $α = \frac{5}{9}, β = - \frac{1}{3}$ である。よって

O H = \frac{5}{9} O A - \frac{1}{3} O B

である。

(2) まず高さを求める。(1) の結果から

O H^{2} = c \cdot O H = \frac{5}{9} (c \cdot a) - \frac{1}{3} (c \cdot b) = \frac{5}{9} \cdot 3 - \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3}

である。したがって $C H^{2} = O C^{2} - O H^{2} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ より $C H = \frac{2 6}{3}$ である。

また， $H$ の平面 $L$ 上での位置を係数の和で見ると $\frac{5}{9} - \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ である。つまり， $H$ は $O A, O B$ を基準にした三角形 $O A B$ の中で， $A B$ に平行な方向に見た高さの割合が $2/9$ の位置にある。

点 $P_{t}, Q_{t}$ はそれぞれ $O P_{t} = t a, O Q_{t} = t b$ であるから， $P_{t} Q_{t}$ は $A B$ に平行で，その長さは $P_{t} Q_{t} = t A B = 2 t$ である。

平面 $M$ は $P_{t} Q_{t}$ を含み，平面 $L$ に垂直である。平面 $M$ 内で， $C$ へ向かう割合を $u$ とする。すなわち，平面 $L$ からの高さは $u C H (0 ≦ u ≦ 1)$ である。この高さでの四面体の断面は，平面 $L$ 上の三角形 $O A B$ が $C$ に向かって相似に縮んだものなので， $P_{t} Q_{t}$ に平行な切り口の長さは $2 (t - \frac{2}{9} u)$ となる。ただし，この線分が四面体の内部に残るためには，左端と右端の両方が三角形内にある必要がある。

その条件は $0 ≦ u ≦ \frac{9 t}{2}$ および $0 ≦ u ≦ \frac{9 ( 1 - t )}{7}$ である。したがって $N = min (\frac{9 t}{2}, \frac{9 ( 1 - t )}{7})$ とおけば，切り口の面積は $S (t) = C H \int_{0}^{N} 2 (t - \frac{2}{9} u) d u$ である。

ここで $\frac{9 t}{2} ≦ \frac{9 ( 1 - t )}{7}$ は $7 t ≦ 2 (1 - t)$ すなわち $t ≦ \frac{2}{9}$ と同値である。

まず $0 < t ≦ 2/9$ のとき， $N = 9 t /2$ である。よって $S (t) = \frac{2 6}{3} \int_{0}^{9 t /2} 2 (t - \frac{2}{9} u) d u .$ 積分すると

\int_{0}^{9 t /2} 2 (t - \frac{2}{9} u) d u = [2 t u - \frac{2}{9} u^{2}]_{0}^{9 t /2} = \frac{9 t ^{2}}{2}

であるから $S (t) = 36 t^{2}$ である。

次に $2/9 ≦ t < 1$ のとき， $N = 9 (1 - t) /7$ である。したがって $S (t) = \frac{2 6}{3} [2 t u - \frac{2}{9} u^{2}]_{0}^{9 (1 - t) /7} .$ 整理すると $S (t) = \frac{12 6}{49} (1 - t) (8 t - 1)$ である。

よって

S (t) = ⎩ ⎨ ⎧ 36 t^{2} \frac{12 6}{49} (1 - t) (8 t - 1) (0 < t ≦ \frac{2}{9}), (\frac{2}{9} ≦ t < 1)

である。

(3) $0 < t ≦ 2/9$ では $S (t) = 36 t^{2}$ であり，これは増加する。したがってこの区間での最大値は $t = 2/9$ のとき $36 (\frac{2}{9})^{2} = \frac{4 6}{27}$ である。

$2/9 ≦ t < 1$ では $S (t) = \frac{12 6}{49} (1 - t) (8 t - 1)$ である。ここで $(1 - t) (8 t - 1) = - 8 t^{2} + 9 t - 1$ は上に凸の2次式で，頂点は $t = \frac{9}{16}$ である。この値は $2/9 < t < 1$ を満たす。したがって後半区間での最大値は

\frac{12 6}{49} (1 - \frac{9}{16}) (8 \cdot \frac{9}{16} - 1)

である。括弧内は $\frac{7}{16} \cdot \frac{7}{2} = \frac{49}{32}$ なので $S_{m a x} = \frac{12 6}{49} \cdot \frac{49}{32} = \frac{3 6}{8}$ である。これは前半区間の最大値 $46 /27$ より大きい。

よって最大値は $\frac{3 6}{8}$ である。

東京大学 2010年度理系数学 第6問

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