東京大学 2010年度理系数学第3問解答・解説

問題

2つの箱 $L$ と $R$ ，ボール30個，コイン投げで表と裏が等確率 $\frac{1}{2}$ で出るコイン1枚を用意する。 $x$ を0以上30以下の整数とする。 $L$ に $x$ 個， $R$ に $30 - x$ 個のボールを入れ，次の操作(＃)を繰り返す。

(＃) 箱 $L$ に入っているボールの個数を $z$ とする。コインを投げ，表が出れば箱 $R$ から箱 $L$ に，裏が出れば箱 $L$ から箱 $R$ に， $K (z)$ 個のボールを移す。ただし， $0 ≦ z ≦ 15$ のとき $K (z) = z$ ， $16 ≦ z ≦ 30$ のとき $K (z) = 30 - z$ とする。

$m$ 回の操作の後，箱 $L$ のボールの個数が30である確率を $P_{m} (x)$ とする。たとえば $P_{1} (15) = P_{2} (15) = \frac{1}{2}$ となる。以下の問(1)，(2)，(3)に答えよ。

(1) $m ≧ 2$ のとき， $x$ に対してうまく $y$ を選び， $P_{m} (x)$ を $P_{m - 1} (y)$ で表せ。

(2) $n$ を自然数とするとき， $P_{2 n} (10)$ を求めよ。

(3) $n$ を自然数とするとき， $P_{4 n} (6)$ を求めよ。

出典：東京大学 2010年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

(1)(2) は文科第3問と同じ状態遷移で処理する。現在の個数 $z$ が15以下なら次は $2 z$ または0，16以上なら次は30または $2 z - 30$ になる。(3) は初期値6から，吸収されずに進む経路 $6 \to 12 \to 24 \to 18 \to 6$ を追う。4回を1単位にすると，30に到達する確率が $3/16$ ，6に戻る確率が $1/16$ なので， $P_{4 n} (6)$ の一次漸化式に帰着する。

解答

(1) 現在，箱 $L$ に入っているボールの個数を $x$ とする。

$0 ≦ x ≦ 15$ のときは $K (x) = x$ である。表なら $R$ から $L$ に $x$ 個移すので $L$ は $2 x$ 個になり，裏なら $L$ から $R$ に $x$ 個移すので $L$ は0個になる。 $m ≧ 2$ では0個から30個になることはないから $P_{m} (x) = \frac{1}{2} P_{m - 1} (2 x) (0 ≦ x ≦ 15)$ である。

$16 ≦ x ≦ 30$ のときは $K (x) = 30 - x$ である。表なら $L$ は30個になり，裏なら $x - (30 - x) = 2 x - 30$ 個になる。したがって $P_{m} (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P_{m - 1} (2 x - 30) (16 ≦ x ≦ 30)$ である。

(2) $A_{n} = P_{2 n} (10)$ とおく。10から1回で，表なら20，裏なら0になる。0に移ると以後30にはならない。20から1回で，表なら30，裏なら10になる。したがって，2回を1単位にすると，10から30に到達する確率が $1/4$ ，10に戻る確率が $1/4$ である。

よって $A_{n} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} A_{n - 1} (n ≧ 2)$ であり， $A_{1} = P_{2} (10) = \frac{1}{4}$ である。これを解くと $A_{n} - \frac{1}{3} = \frac{1}{4} (A_{n - 1} - \frac{1}{3})$ だから $P_{2 n} (10) = \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{4 ^{n}})$ である。

(3) $B_{n} = P_{4 n} (6)$ とおく。6から出発して，0または30に吸収されない道だけを追うと $6 \to 12 \to 24 \to 18 \to 6$ という4段階の循環になる。実際，6から表で12，12から表で24，24から裏で18，18から裏で6である。この4回すべてが循環方向に進む確率は $(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}$ である。

一方，4回以内に30へ到達する場合を数える。6から12，12から24 へ進んだ後，24で表が出ると30に到達する。この確率は $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ である。また，24で裏が出て18へ進んだ後，18で表が出ると30に到達する。この確率は $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$ である。したがって4回以内に30へ到達する確率は $\frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$ である。

よって $n ≧ 2$ で $B_{n} = \frac{3}{16} + \frac{1}{16} B_{n - 1}$ が成り立つ。また $B_{1} = P_{4} (6) = \frac{3}{16}$ である。定数解は $B = \frac{3}{16} + \frac{1}{16} B$ より $B = \frac{1}{5}$ である。したがって $B_{n} - \frac{1}{5} = \frac{1}{16} (B_{n - 1} - \frac{1}{5})$ であり， $B_{1} = 3/16$ から $B_{n} = \frac{1}{5} (1 - \frac{1}{1 6 ^{n}})$ となる。

したがって $P_{4 n} (6) = \frac{1}{5} (1 - \frac{1}{1 6 ^{n}})$ である。

東京大学 2010年度理系数学 第3問

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