東京大学 2010年度
理系数学 第4問

解答

(1) 曲線 $C$ の式は $y=\frac{1}{2}x+\sqrt{\frac{1}{4}{x}^2+2}$ である。右辺の平方根は正なので $y-\frac{1}{2}x>0$ であり，両辺を移項して2乗すると ${\left(y-\frac{1}{2}x\right)}^2=\frac{1}{4}{x}^2+2$ である。展開して整理すると $y^2-xy=2$ を得る。したがって $y>0$ で $x=y-\frac{2}{y}$ である。また $y-x=\frac{2}{y}$ である。

曲線上の点を $P=(x,y)$ とする。$P$ を通る $x$ 軸に平行な直線は高さ $y$ の水平線であり，直線 $y=x$ との交点は $H=(y,y)$ である。三角形 $OPH$ の面積は $[△OPH]=\frac{1}{2}|xy-y^2|=\frac{1}{2}y(y-x)$ である。ここで $y>0$ かつ $y-x=2/y$ だから $[△OPH]=\frac{1}{2}y\cdot \frac{2}{y}=1$ である。

したがって $P_1,P_2$ のどちらについても面積は1であり，$\boxed{[△O{P}_1{H}_1]=[△O{P}_2{H}_2]}$ である。

(2) (1) より，曲線は $y>0$ を用いて $x=y-\frac{2}{y}$ と表せる。微分すると $\frac{dx}{dy}=1+\frac{2}{y^2}>0$ であるから，$x$ は $y$ の増加関数である。よって $x_1<x_2$ なら $y_1<y_2$ である。

曲線上の点を $P(y)=(x(y),y)$ とする。$y$ から $y+dy$ までの小さな部分を考えると，原点と2点 $P(y),P(y+dy)$ がつくる微小三角形の面積は $\frac{1}{2}\left|x(y)y^{\prime }(dy)-y{x}^{\prime }(dy)\right|$ に対応する。向きを $y_1$ から $y_2$ へ取ると，求める面積は $\frac{1}{2}{\int }_{y_1}^{y_2}\left(y\frac{dx}{dy}-x\right)dy$ である。

ここで

である。したがって面積は

である。

別解。曲線上の隣り合う2点 $P(y),P(y+\Delta y)$ と原点でできる小三角形を足し合わせても同じ面積が得られる。小三角形の面積は $\frac{1}{2}\left|x(y)(y+\Delta y)-yx(y+\Delta y)\right|$ であり，$\Delta y\to 0$ とすると被積分関数は $\frac{1}{2}\left(y\frac{dx}{dy}-x\right)$ になる。これは上の計算と同じく $2/y$ なので，結局 ${\int }_{y_1}^{y_2}\frac{2}{y}dy=2\log \frac{y_2}{y_1}$ を得る。