解答
(1) 自然数 k を固定する。0<x<1 では k<k+x<k+1 である。また 1−x>0 だから，分母が大きいほど分数は小さくなり，k+11−x<k+x1−x<k1−x である。
これを 0 から 1 まで積分すると
k+11∫01(1−x)dx<∫01k+x1−xdx<k1∫01(1−x)dx
である。ここで ∫01(1−x)dx=[x−2x2]01=21 なので 2(k+1)1<∫01k+x1−xdx<2k1 である。
(2) まず1項ごとの形を作る。自然数 k について logkk+1=∫kk+1udu であり，u=k+x とおくと logkk+1=∫01k+x1dx である。したがって
logkk+1−k+11=∫01(k+x1−k+11)dx.
括弧内を通分すると k+x1−k+11=(k+x)(k+1)1−x だから logkk+1−k+11=k+11∫01k+x1−xdx. (1) を用いると 2(k+1)21<logkk+1−k+11<2k(k+1)1 である。さらに 2(k+1)21>2(k+1)(k+2)1 なので，やや弱めて
2(k+1)(k+2)1<logkk+1−k+11<2k(k+1)1
を得る。
これを k=n,n+1,…,m−1 について足す。中央は
k=n∑m−1logkk+1−k=n∑m−1k+11=lognm−k=n+1∑mk1
である。
したがって
k=n∑m−12(k+1)(k+2)1<lognm−k=n+1∑mk1<k=n∑m−12k(k+1)1
である。両端の和を部分分数で計算すると
k=n∑m−12(k+1)(k+2)1=21k=n∑m−1(k+11−k+21)=21(n+11−m+11)
であり，
k=n∑m−12k(k+1)1=21k=n∑m−1(k1−k+11)=21(n1−m1)
である。
よって
2(m+1)(n+1)m−n<lognm−k=n+1∑mk1<2mnm−n
である。
