問題
3辺の長さがととの直方体を，長さがの1辺を回転軸として回転させるとき，直方体が通過する点全体がつくる立体をとする。
(1) の体積を，，を用いて表せ。
(2) のとき，の体積のとりうる値の範囲を求めよ。
出典：東京大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
回転軸に垂直な断面で考える。直方体の断面は辺の長さ の長方形であり，それを1つの頂点のまわりに 回転した掃過面積を求めればよい。断面積は，長方形部分 と，対角線長を半径とする90度扇形部分 の和になる。値域は とおき， による の範囲と を使って上限を調べる。
解答
(1) 長さ の辺を回転軸としているので，この軸に垂直な断面を考える。各断面では，辺の長さが の長方形が，その1つの頂点を中心として 回転する。
この長方形の対角線の長さを とする。長方形が回転して通過する領域は，もとの長方形の面積 に加えて，対角線の先端が描く半径 ，中心角 の扇形部分を含む。断面の掃過領域の面積は である。
この断面が回転軸方向に長さ だけ続くので，求める体積は である。
(2) とおく。 で だから である。また なので
ここで であるから である。したがって 関数 を考えると である。よって は で最大となり，その値は である。したがって である。また体積なので である。
上端と下端が実際に近づけられることも確認する。 を に近づけ，かつ の一方を0に近づければ， は0に近づき， は にいくらでも近づく。一方， を0に近づける，または を0に近づければ， は0にいくらでも近づく。領域 ， は連結で， は連続に変化するから，その間の値もすべてとる。
よって体積のとりうる値の範囲は である。