問題
座標平面において，媒介変数を用いて
と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ。
出典：東京大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
まず曲線の通過点と符号を確認し， が上側の閉曲線， が下側の閉曲線を作ることを押さえる。上側では同じ 座標を与える2つの媒介変数 と を対応させると，縦の長さが になる。下側でも と を対応させると同じ縦の長さになるため，上下の面積は等しい。あとは から横幅 を用い，1変数積分で上側の面積を求めて2倍する。
解答
ではいずれも である。また では より ， では より である。したがって の部分が上側の閉曲線， の部分が下側の閉曲線を作る。
まず上側の面積を求める。 に対して， と は同じ 座標を与える。実際， である。この2点の 座標は であるから，縦の長さは である。
また， では は から へ減少する。したがって横方向の微小幅は である。よって上側の面積を とすると， である。
ここで より，部分積分を用いて
次に下側について確認する。 に対して と は同じ 座標を与え，それぞれの 座標は である。したがって縦の長さは となり，上側と同じである。横幅も同じなので，下側の面積も である。
よって曲線が囲む領域の面積の合計は である。
別解。閉曲線の面積は，縦割りの面積として から求めてもよい。上側の閉曲線では
下側も同様に絶対値が になるので，全体の面積は である。