問題
白黒2種類のカードがたくさんある。そのうち枚のカードを手もとにもっているとき，次の操作(A)を考える。
(A) 手持ちの枚の中から1枚を，等確率で選び出し，それを違う色のカードにとりかえる。
以下の問(1)，(2)に答えよ。
(1) 最初に白2枚，黒2枚，合計4枚のカードをもっているとき，操作(A)を回繰り返した後に初めて，4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2) 最初に白3枚，黒3枚，合計6枚のカードをもっているとき，操作(A)を回繰り返した後に初めて，6枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
方針
(1)は4枚の場合で，未終了状態を 対 と 対 の2種類にまとめる。終了は 対 から少数色を選んだときだけ起こるので，初到達確率は未終了確率から取り出す。(2)は6枚の場合で，未終了状態を 対 ， 対 ， 対 の3種類にまとめる。 対 から少数色を選ぶ確率 が終了確率であり，漸化式または2回1組の戻り確率から一般項を求める。
解答
(1)
途中で4枚とも同じ色になったものは以後数えない。未終了のまま 回後に白黒が2枚ずつである確率を ，白黒が1枚と3枚に分かれている確率を とする。初期条件は である。
白黒2枚ずつの状態からは，どのカードを選んでも白黒1枚と3枚の状態になる。白黒1枚と3枚の状態からは，少数色の1枚を選ぶと確率 で同色4枚になり，多数色の3枚のどれかを選ぶと確率 で白黒2枚ずつに戻る。したがって未終了確率は を満たし， 回目に初めて同色4枚になる確率は である。
この漸化式から
である。よって求める確率は
である。
(2)
6枚の場合も，色の名前ではなく枚数の分かれ方だけを見る。未終了のまま 回後に，白黒が 枚と 枚， 枚と 枚， 枚と 枚に分かれている確率をそれぞれ とする。初期条件は である。
各状態からの推移を調べる。 対 からはどのカードを選んでも 対 になる。 対 からは，多数色の4枚のどれかを選ぶと確率 で 対 に戻り，少数色の2枚のどれかを選ぶと確率 で 対 になる。 対 からは，多数色を選ぶと確率 で 対 に戻り，少数色を選ぶと確率 で同色6枚になって終了する。
したがって未終了確率について
が成り立ち， 回目に初めて同色6枚になる確率は である。 では， と はともに から作られ， だから である。よって となる。初期状態から であるため， であり，さらに
である。 回目に初めて同色6枚になるには， 回後に 型で，最後に少数色を選ぶ必要がある。したがって のとき， であり，偶数回では終了できない。よって求める確率は
である。
別解。6枚の場合は，初回で必ず 対 の状態になる。そこから2回操作して，終了せず再び 対 に戻る確率は である。また， 対 から2回で終了する確率は である。したがって 回目に初めて終了するには，初回の後， 回だけ2回組で戻り続け，最後の2回組で終了すればよい。確率は となり，同じ式を得る。