東京大学 2008年度理系数学第4問解答・解説

問題

放物線 $y = x^{2}$ 上に2点 $P$ ， $Q$ がある。線分 $P Q$ の中点の $y$ 座標を $h$ とする。

(1) 線分 $P Q$ の長さ $L$ と傾き $m$ で， $h$ を表せ。

(2) $L$ を固定したとき， $h$ がとりうる値の最小値を求めよ。

出典：東京大学 2008年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

放物線上の2点を $P (u, u^{2}), Q (v, v^{2})$ とおき，和 $u + v$ と差 $v - u$ で整理する。傾きは $m = u + v$ となり，長さは $L^{2} = (v - u)^{2} (1 + m^{2})$ で表せる。中点の $y$ 座標は $(u^{2} + v^{2}) /2$ なので， $u + v$ と $u - v$ に直せば $L, m$ の式が得られる。(2)では $t = 1 + m^{2} ≧ 1$ とおき， $t - 1 + L^{2} / t$ の最小値を， $t = L$ が許されるかどうかで場合分けする。

解答

(1)

放物線 $y = x^{2}$ 上の2点を $P (u, u^{2}), Q (v, v^{2})$ とおく。線分の傾きが定まっているので $u \neq = v$ としてよい。

傾き $m$ は $m = \frac{v ^{2} - u ^{2}}{v - u} = u + v$ である。また線分の長さ $L$ について

L^{2} = (v - u)^{2} + (v^{2} - u^{2})^{2} = (v - u)^{2} + {(v - u) (v + u)}^{2} = (v - u)^{2} {1 + (u + v)^{2}}

だから， $(v - u)^{2} = \frac{L ^{2}}{1 + m ^{2}}$ である。

中点の $y$ 座標は $h = \frac{u ^{2} + v ^{2}}{2}$ である。ここで $u^{2} + v^{2} = \frac{( u + v ) ^{2} + ( u - v ) ^{2}}{2}$ より，

h = \frac{1}{2} \cdot \frac{( u + v ) ^{2} + ( u - v ) ^{2}}{2} = \frac{1}{4} (m^{2} + \frac{L ^{2}}{1 + m ^{2}}) .

これが求める式である。

(2)

$t = 1 + m^{2}$ とおくと $t ≧ 1$ であり，(1)の式は $h = \frac{1}{4} (t - 1 + \frac{L ^{2}}{t})$ となる。逆に任意の $t ≧ 1$ に対して $m^{2} = t - 1$ となる $m$ が取れるので，この $t$ の範囲で最小化すればよい。 $g (t) = t - 1 + \frac{L ^{2}}{t}$ とおく。 $t > 0$ で $g^{'} (t) = 1 - \frac{L ^{2}}{t ^{2}}$ である。

まず $0 < L ≦ 1$ のとき， $t ≧ 1$ では $t ≧ L$ だから $g^{'} (t) ≧ 0$ である。したがって $g (t)$ は $t ≧ 1$ で増加し，最小値は $t = 1$ で $g (1) = L^{2}$ である。よって $h_{m i n} = \frac{L ^{2}}{4}$ である。

次に $L ≧ 1$ のとき， $g^{'} (t) < 0$ は $1 ≦ t < L$ ， $g^{'} (t) > 0$ は $t > L$ で成り立つ。したがって最小値は $t = L$ で得られ， $g (L) = L - 1 + L = 2 L - 1$ である。よって $h_{m i n} = \frac{2 L - 1}{4}$ である。

以上より， $L$ を固定したときの $h$ の最小値は

⎩ ⎨ ⎧ \frac{L ^{2}}{4} \frac{2 L - 1}{4} (0 < L ≦ 1), (L ≧ 1)

である。 $L = 1$ では2つの式はいずれも $1/4$ になり，一致する。

東京大学 2008年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2008年度
理系数学第4問