問題
自然数に対し，
と表す。たとえば，，である。
(1) を0以上の整数とする。はで割り切れるが，では割り切れないことを示せ。
(2) が27で割り切れることが，が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。
方針
という分解を使い，添字を3倍したときに3で割れる回数がちょうど1回増えることを示す。後ろの因子は から では割れるが では割れない。(2)では ， と分け， に残りの等比和を掛けた形にする。残りの等比和は で割ると と同じ余りになるため， の3で割れる回数は と同じになる。
解答
(1)
まず のとき， である。これは で割り切れるが， では割り切れない。
次に，ある で と書け， が で割り切れないと仮定する。 とおくと，
である。
ここで だから であり， となる。したがって と書け， は で割り切れない。
よって であり， は で割り切れない。したがって は で割り切れるが， では割り切れない。数学的帰納法により，すべての で主張が成り立つ。
(2)
自然数 を と書く。ただし は0以上の整数， は で割り切れない自然数である。 を でくくると， である。括弧内には 個の項がある。各項は で割ると 余るので，括弧内全体は で割ると と同じ余りをもつ。 は で割り切れないから，この括弧内も で割り切れない。
(1)より， は で割り切れるが では割り切れない。さらに括弧内は で割り切れないので， も で割り切れるが では割り切れない。
したがって が で割り切れることは と同値である。一方， かつ であるから， が で割り切れることも と同値である。
以上より， が で割り切れることは， が で割り切れるための必要十分条件である。