問題
以下の問いに答えよ。
(1) をみたす実数，に対し，次を示せ。
(2) (1)を利用して，次を示せ。
ただし，は2の自然対数を表す。
出典：東京大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
(1)は積分区間 を中心 ，半幅 の対称区間として見る。 と置き， と の項を組にすると，被積分関数は になる。これは で最小， に近づくほど大きくなるので，定数で上下から評価して積分する。(2)は を と に分け，それぞれ として(1)を適用し，最後に有理数と小数を比較する。
解答
(1)
とおく。 なので，積分区間では であり，置換して となる。正負の を組にすると
である。 では である。したがって が，端点を除く区間で成り立つ。右端は である。これを で積分すると，厳密な不等式として
を得る。
(2)
まず
と分ける。
(1)を に適用すると，区間 であるから
すなわち である。
また，(1)を に適用すると，区間 であるから
すなわち である。
2つを足して を得る。すなわち である。ここで は より成り立ち， は より成り立つ。したがって が示された。