東京大学 2007年度理系数学第1問解答・解説

問題

$n$ と $k$ を正の整数とし， $P (x)$ を次数が $n$ 以上の整式とする。整式 $(1 + x)^{k} P (x)$ の $n$ 次以下の項の係数がすべて整数ならば， $P (x)$ の $n$ 次以下の項の係数は，すべて整数であることを示せ。ただし，定数項については，項それ自身を係数とみなす。

出典：東京大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

$P (x)$ の低次係数を $a_{j}$ ， $(1 + x)^{k} P (x)$ の低次係数を $b_{j}$ とおく。 $x^{j}$ の係数 $b_{j}$ は $a_{j}$ と，それより低い $a_{j - 1}, a_{j - 2}, \dots$ の整数係数つき和で表される。したがって $j = 0$ から順に，すでに整数と分かった係数を差し引いて $a_{j}$ が整数であることを示す。高次の項は $x^{j}$ の係数に影響しないため， $n$ 次以下だけで閉じた帰納法になる。

解答

$P (x)$ の $x^{j}$ の係数を $a_{j}$ ， $(1 + x)^{k} P (x)$ の $x^{j}$ の係数を $b_{j}$ とおく。仮定より $b_{0}, b_{1}, \dots, b_{n}$ はすべて整数である。 $(1 + x)^{k}$ を掛けたときの $x^{j}$ の係数は， $P (x)$ の $j$ 次以下の係数だけから決まる。具体的には， $0 ≦ j ≦ n$ について $b_{j} = a_{j} + \sum_{i = 1}^{m i n (k, j)}_{k} C_{i} a_{j - i}$ である。

まず $j = 0$ では $b_{0} = a_{0}$ であるから， $a_{0}$ は整数である。

次に，ある $j$ について $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{j - 1}$ がすべて整数であると仮定する。このとき $\sum_{i = 1}^{m i n (k, j)}_{k} C_{i} a_{j - i}$ は整数である。また $b_{j}$ も整数であるから $a_{j} = b_{j} - \sum_{i = 1}^{m i n (k, j)}_{k} C_{i} a_{j - i}$ は整数である。

よって数学的帰納法により， $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ はすべて整数である。したがって $P (x)$ の $n$ 次以下の項の係数はすべて整数である。

東京大学 2007年度理系数学 第1問

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解答

東京大学 2007年度
理系数学第1問