東京大学 2007年度理系数学第3問解答・解説

問題

座標平面上の2点 $P$ ， $Q$ が，曲線 $y = x^{2}$ $(- 1 ≦ x ≦ 1)$ 上を自由に動くとき，線分 $P Q$ を $1 : 2$ に内分する点 $R$ が動く範囲を $D$ とする。ただし， $P = Q$ のときは $R = P$ とする。

(1) $a$ を $- 1 ≦ a ≦ 1$ をみたす実数とするとき，点 $(a, b)$ が $D$ に属するための $b$ の条件を $a$ を用いて表せ。

(2) $D$ を図示せよ。% 図は省略

出典：東京大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

$P = (u, u^{2})$ ， $Q = (v, v^{2})$ とおき，内分点 $R = (a, b)$ を $u, v$ で表す。 $a = (2 u + v) /3$ から $v = 3 a - 2 u$ と消去すると， $b = 2 (u - a)^{2} + a^{2}$ となり，固定した $a$ について $u$ の2次関数を調べればよい。制約 $- 1 ≦ u ≦ 1$ ， $- 1 ≦ v ≦ 1$ から $u$ の許される区間を求めると， $u = a$ は常に含まれるので最小は $a^{2}$ 。最大は端点のうち $a$ から遠い方で起こり，端点の切り替わりにより $a = - 1/3, 0, 1/3$ で場合分けする。

解答

(1)

$P = (u, u^{2}), Q = (v, v^{2})$ とおく。 $R$ は線分 $P Q$ を $1 : 2$ に内分する点であるから $a = \frac{2 u + v}{3}, b = \frac{2 u ^{2} + v ^{2}}{3}$ である。第1式から $v = 3 a - 2 u$ である。これを $b$ に代入すると

b = \frac{2 u ^{2} + ( 3 a - 2 u ) ^{2}}{3} = 2 u^{2} - 4 a u + 3 a^{2} = 2 (u - a)^{2} + a^{2}

となる。

次に $u$ の範囲を求める。 $P, Q$ はどちらも $- 1 ≦ x ≦ 1$ の曲線上を動くので $- 1 ≦ u ≦ 1, - 1 ≦ v ≦ 1$ である。 $v = 3 a - 2 u$ を用いると $- 1 ≦ 3 a - 2 u ≦ 1$ すなわち $\frac{3 a - 1}{2} ≦ u ≦ \frac{3 a + 1}{2}$ である。したがって許される $u$ の範囲は

max (- 1, \frac{3 a - 1}{2}) ≦ u ≦ min (1, \frac{3 a + 1}{2})

である。 $- 1 ≦ a ≦ 1$ のとき， $u = a$ はこの区間に含まれる。よって $b = 2 (u - a)^{2} + a^{2}$ の最小値は $a^{2}$ である。

最大値は許される区間の端点で起こる。端点と $a$ との距離を比較する。 $- 1 ≦ a ≦ - \frac{1}{3}$ では，区間は $- 1 ≦ u ≦ \frac{3 a + 1}{2}$ であり， $u = - 1$ の方が $a$ から遠い。よって最大値は $a^{2} + 2 (a + 1)^{2}$ である。 $- \frac{1}{3} ≦ a ≦ 0$ では，区間は $\frac{3 a - 1}{2} ≦ u ≦ \frac{3 a + 1}{2}$ であり，左端の方が $a$ から遠い。よって最大値は $a^{2} + 2 (\frac{1 - a}{2})^{2} = a^{2} + \frac{( 1 - a ) ^{2}}{2}$ である。 $0 ≦ a ≦ \frac{1}{3}$ では，同じ区間で右端の方が $a$ から遠い。よって最大値は $a^{2} + 2 (\frac{1 + a}{2})^{2} = a^{2} + \frac{( 1 + a ) ^{2}}{2}$ である。 $\frac{1}{3} ≦ a ≦ 1$ では，区間は $\frac{3 a - 1}{2} ≦ u ≦ 1$ であり， $u = 1$ の方が $a$ から遠い。よって最大値は $a^{2} + 2 (1 - a)^{2}$ である。

以上より，点 $(a, b)$ が $D$ に属する条件は $- 1 ≦ a ≦ 1, a^{2} ≦ b ≦ M (a)$ である。ただし

M (a) = ⎩ ⎨ ⎧ a^{2} + 2 (a + 1)^{2} a^{2} + \frac{( 1 - a ) ^{2}}{2} a^{2} + \frac{( 1 + a ) ^{2}}{2} a^{2} + 2 (1 - a)^{2} (- 1 ≦ a ≦ - \frac{1}{3}), (- \frac{1}{3} ≦ a ≦ 0), (0 ≦ a ≦ \frac{1}{3}), (\frac{1}{3} ≦ a ≦ 1)

である。

(2)

求める領域は，横軸を $a$ ，縦軸を $b$ と見ると， $- 1 ≦ a ≦ 1$ において，下側を放物線 $b = a^{2}$ で，上側を(1)の折れ目をもつ曲線 $b = M (a)$ で囲まれる部分である。上側境界は $a = - 1/3, 0, 1/3$ で式が切り替わるので，図示ではこの3点を境に4つの放物線弧をつなぐ。

東京大学 2007年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

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理系数学第3問