東京大学 2007年度理系数学第2問解答・解説

問題

$n$ を2以上の整数とする。平面上に $n + 2$ 個の点 $O$ ， $P_{0}$ ， $P_{1}$ ， $\dots$ ， $P_{n}$ があり，次の2つの条件をみたしている。

(i) $∠ P_{k - 1} O P_{k} = \frac{π}{n}$ $(1 ≦ k ≦ n)$ ， $∠ O P_{k - 1} P_{k} = ∠ O P_{0} P_{1}$ $(2 ≦ k ≦ n)$

(ii) 線分 $O P_{0}$ の長さは1，線分 $O P_{1}$ の長さは $1 + \frac{1}{n}$ である。

線分 $P_{k - 1} P_{k}$ の長さを $a_{k}$ とし， $s_{n} = k = 1 \sum n a_{k}$ とおくとき， $n \to \infty lim s_{n}$ を求めよ。

出典：東京大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

$r_{k} = O P_{k}$ ， $θ = π / n$ とおく。各三角形 $O P_{k - 1} P_{k}$ では， $O$ の角が一定で， $P_{k - 1}$ 側の角も一定なので，正弦定理から $r_{k} / r_{k - 1}$ が一定になる。初期条件 $r_{1} / r_{0} = 1 + 1/ n$ より $r_{k} = (1 + 1/ n)^{k}$ である。各辺 $a_{k}$ は余弦定理で $r_{k - 1}$ の一定倍になり， $s_{n}$ は等比数列の和に帰着する。最後は $λ = 1 + 1/ n$ ， $θ = π / n$ として， $n sin (π / (2 n)) \to π /2$ と $(1 + 1/ n)^{n} \to e$ を用いる。

解答

$θ = \frac{π}{n}, r_{k} = O P_{k}$ とおく。また $α = ∠ O P_{0} P_{1}$ とおく。条件より，すべての $k$ について三角形 $O P_{k - 1} P_{k}$ の $O$ における角は $θ$ ， $P_{k - 1}$ における角は $α$ である。

三角形 $O P_{k - 1} P_{k}$ に正弦定理を用いると，辺 $O P_{k}$ は角 $α$ の向かい，辺 $O P_{k - 1}$ は角 $θ + α$ の向かいにあるので $\frac{r _{k}}{r _{k - 1}} = r a c sin α sin (θ + α)$ である。右辺は $k$ によらない。ところが $r_{0} = 1, r_{1} = 1 + r a c 1 n$ であるから，この一定比を $λ = 1 + r a c 1 n$ とおける。したがって $r_{k} = λ^{k} = (1 + r a c 1 n)^{k}$ である。

次に， $a_{k} = P_{k - 1} P_{k}$ を余弦定理で求める。 $O P_{k - 1}$ と $O P_{k}$ のなす角は $θ$ だから

a_{k}^{2} = r_{k - 1}^{2} + r_{k}^{2} - 2 r_{k - 1} r_{k} cos θ = r_{k - 1}^{2} (1 + λ^{2} - 2 λ cos θ)

である。よって $a_{k} = λ^{k - 1} 1 + λ^{2} - 2 λ cos θ$ である。

したがって

s_{n} = k = 1 \sum n a_{k} = 1 + λ^{2} - 2 λ cos θ k = 1 \sum n λ^{k - 1} = 1 + λ^{2} - 2 λ cos θ \cdot \frac{λ ^{n} - 1}{λ - 1} = n {(1 + r a c 1 n)^{n} - 1} 1 + λ^{2} - 2 λ cos θ

である。

ここで $1 + λ^{2} - 2 λ cos θ = (λ - 1)^{2} + 2 λ (1 - cos θ)$ であり， $1 - cos θ = 2 sin^{2} (θ /2)$ だから

n^{2} (1 + λ^{2} - 2 λ cos θ) = n^{2} (λ - 1)^{2} + 4 λ n^{2} sin^{2} \frac{θ}{2} = 1 + 4 λ (n sin \frac{π}{2 n})^{2}

である。 $n \to \infty$ のとき $λ \to 1$ ， $n sin (π / (2 n)) \to π /2$ なので

n \to \infty lim n 1 + λ^{2} - 2 λ cos θ = 1 + π^{2}

である。また $lim_{n \to \infty} (1 + r a c 1 n)^{n} = e$ である。以上より $lim_{n \to \infty} s_{n} = (e - 1) 1 + π^{2}$ である。

東京大学 2007年度理系数学 第2問

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理系数学第2問