東京大学 2001年度
理系数学 第6問

解答

(1)

$d=a-b$ とおく。初めは $d=0$ である。$d=0$ のとき、表なら $A$ だけが1進むので $d=1$、裏なら $B$ だけが1進むので $d=-1$ となる。したがって $d=0$ から次に $d=0$ になることはない。 $d=1$ のときは、表なら $A,B$ がともに1進んで $d=1$ のままであり、裏なら $B$ だけが1進んで $d=0$ となる。$d=-1$ のときも同様に、2通りのうち1通りだけが $d=0$ へ戻る。

よって、$n$ 回後に $d\ne 0$ である $2^n-X_n$ 通りから、それぞれ1通りずつ $n+1$ 回後に $d=0$ となる。したがって $X_{n+1}=2^n-X_n$ である。

(2)

$X_1=0$ である。(1)の漸化式に対し、$Y_n=X_n-\frac{2^n}{3}$ とおくと $Y_{n+1}=-Y_n$ である。また $Y_1=-\frac{2}{3}$ だから $Y_n=\frac{2(-1{)}^n}{3}$ である。したがって $X_n=\frac{2^n+2(-1{)}^n}{3}$ である。

(3)

$n$ 回後の $a+b$ の平均を $E_n$ とする。規則は $A$ と $B$、表と裏を入れ替えても対称なので、$a$ の平均と $b$ の平均は等しい。したがって求める $a$ の平均は $\frac{E_n}{2}$ である。 $j$ 回後に $d=0$ である割合は $X_j/2^j$ である。ただし $j=0$ ではまだ何も投げていないので $X_0=1$ とおく。この値は $X_0=\frac{2^0+2(-1{)}^0}{3}=1$ であり、(2)の式と一致している。

次の1回で $a+b$ がどれだけ増えるかを調べる。$d=0$ のときは、表でも裏でも片方だけが1進むので、$a+b$ の増加量は1である。$d\ne 0$ のときは、2通りのうち一方では2点がともに1進んで増加量2、もう一方では片方だけが1進んで増加量1である。したがって平均増加量は $\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$ である。

よって $j$ 回後から $j+1$ 回後への $a+b$ の平均増加量は

である。したがって

となる。

(2)より $\frac{X_j}{2^j}=\frac{1}{3}+\frac{2(-1{)}^j}{3\cdot 2^j}$ であるから

したがって $a$ の平均は $\frac{E_n}{2}=\frac{2n}{3}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n$ である。すなわち $\frac{6n-1}{9}+\frac{1}{9}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n$ である。

別解。(3)では $a$ の増加量を直接見てもよい。$d=0$ なら次の1回で $a$ が増える確率は $1/2$、$d=1$ でも平均増加量は $1/2$、$d=-1$ なら表でも裏でも $a$ は1増える。対称性から $d=1$ と $d=-1$ は同数なので、$j$ 回後の $a$ の平均増加量は $\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\cdot \frac{X_j}{2^j}$ となる。これを $j=0$ から $n-1$ まで足しても、上と同じ式が得られる。