東京大学 2001年度理系数学第3問解答・解説

問題

実数 $t > 1$ に対し， $x y$ 平面上の点 $O (0, 0)$ ， $P (1, 1)$ ， $Q (t, \frac{1}{t})$ を頂点とする三角形の面積を $a (t)$ とし，線分 $O P$ ， $O Q$ と双曲線 $x y = 1$ とで囲まれた部分の面積を $b (t)$ とする。このとき

c (t) = \frac{b ( t )}{a ( t )}

とおくと，関数 $c (t)$ は $t > 1$ においてつねに減少することを示せ。

出典：東京大学 2001年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

まず座標から三角形の面積 $a (t)$ を求める。領域 $b (t)$ は、 $0 ≦ x ≦ 1$ では直線 $O P$ と直線 $O Q$ の間、 $1 ≦ x ≦ t$ では双曲線 $x y = 1$ と直線 $O Q$ の間として積分する。相殺により $b (t) = lo g t$ となるので、 $c (t) = 2 t lo g t / (t^{2} - 1)$ を微分する。最後の符号判定は $lo g t > (t^{2} - 1) / (t^{2} + 1)$ を別関数の微分で示す。

解答

三角形 $O P Q$ の面積を求める。 $O = (0, 0)$ 、 $P = (1, 1)$ 、 $Q = (t, 1/ t)$ であるから、座標による面積公式より

a (t) = \frac{1}{2} 1 \cdot \frac{1}{t} - 1 \cdot t = \frac{1}{2} (t - \frac{1}{t})

である。 $t > 1$ なのでこれは正である。

次に $b (t)$ を求める。直線 $O P$ は $y = x$ であり、直線 $O Q$ は傾き $(1/ t) / t = 1/ t^{2}$ だから $y = \frac{x}{t ^{2}}$ である。 $0 ≦ x ≦ 1$ では、囲まれた領域は直線 $O P$ と直線 $O Q$ の間にある。 $1 ≦ x ≦ t$ では、上側が双曲線 $y = 1/ x$ 、下側が直線 $y = x / t^{2}$ である。したがって

b (t) = \int_{0}^{1} (x - \frac{x}{t ^{2}}) d x + \int_{1}^{t} (\frac{1}{x} - \frac{x}{t ^{2}}) d x = (1 - \frac{1}{t ^{2}}) \frac{1}{2} + lo g t - \frac{1}{t ^{2}} \cdot \frac{t ^{2} - 1}{2} = lo g t .

よって

c (t) = \frac{b ( t )}{a ( t )} = \frac{lo g t}{( t - 1/ t ) /2} = \frac{2 t lo g t}{t ^{2} - 1}

である。

これを微分する。分母は $t > 1$ で正であり、

c^{'} (t) = \frac{( 2 lo g t + 2 ) ( t ^{2} - 1 ) - 2 t lo g t \cdot 2 t}{( t ^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{2 {( t ^{2} - 1 ) - ( t ^{2} + 1 ) lo g t }}{( t ^{2} - 1 ) ^{2}}

である。

したがって、 $c^{'} (t) < 0$ を示すには $lo g t > \frac{t ^{2} - 1}{t ^{2} + 1}$ を示せばよい。そこで $h (t) = lo g t - \frac{t ^{2} - 1}{t ^{2} + 1}$ とおく。微分すると

h^{'} (t) = \frac{1}{t} - \frac{2 t ( t ^{2} + 1 ) - ( t ^{2} - 1 ) 2 t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{t} - \frac{4 t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{( t ^{2} + 1 ) ^{2} - 4 t ^{2}}{t ( t ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{( t ^{2} - 1 ) ^{2}}{t ( t ^{2} + 1 ) ^{2}} > 0

である。また $t \to 1 + 0$ のとき $h (t) \to 0$ である。よって $t > 1$ では $h (t) > 0$ すなわち $lo g t > \frac{t ^{2} - 1}{t ^{2} + 1}$ が成り立つ。

以上より $(t^{2} - 1) - (t^{2} + 1) lo g t < 0$ であり、分母 $(t^{2} - 1)^{2}$ は正であるから $c^{'} (t) < 0$ である。したがって $c (t)$ は $t > 1$ においてつねに減少する。

東京大学 2001年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

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理系数学第3問