東京大学 2001年度理系数学第2問解答・解説

問題

次の等式を満たす関数 $f (x)$ $(0 ≦ x ≦ 2 π)$ がただ一つ定まるための実数 $a$ ， $b$ の条件を求めよ。また，そのときの $f (x)$ を決定せよ。

f (x) = \frac{a}{2 π} \int_{0}^{2 π} sin (x + y) f (y) d y + \frac{b}{2 π} \int_{0}^{2 π} cos (x - y) f (y) d y + sin x + cos x

ただし， $f (x)$ は区間 $0 ≦ x ≦ 2 π$ で連続な関数とする。

出典：東京大学 2001年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

加法定理で $sin (x + y)$ と $cos (x - y)$ を展開すると、右辺は必ず $sin x$ と $cos x$ の一次結合になる。したがって解があるなら $f (x) = α sin x + β cos x$ と置ける。直交性 $\int_{0}^{2 π} sin^{2} y d y = \int_{0}^{2 π} cos^{2} y d y = π$ 、 $\int_{0}^{2 π} sin y cos y d y = 0$ を使って $α, β$ の連立一次方程式に帰着し、和と差を取って一意性の条件を調べる。

解答

加法定理より $sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y,$ $cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y$ である。したがって与えられた等式の右辺は、どのような連続関数 $f$ に対しても $sin x$ と $cos x$ の一次結合になる。よって解が存在するなら $f (x) = α sin x + β cos x$ と書ける。

このとき

\int_{0}^{2 π} sin y f (y) d y = α \int_{0}^{2 π} sin^{2} y d y + β \int_{0}^{2 π} sin y cos y d y = π α

であり、同様に $\int_{0}^{2 π} cos y f (y) d y = π β$ である。

これをもとの等式に代入すると、 $sin x$ の係数は $\frac{a}{2} β + \frac{b}{2} α + 1$ であり、 $cos x$ の係数は $\frac{a}{2} α + \frac{b}{2} β + 1$ である。したがって係数比較により

α = \frac{a}{2} β + \frac{b}{2} α + 1, β = \frac{a}{2} α + \frac{b}{2} β + 1

を得る。両式を整理して2倍すると $(2 - b) α - a β = 2,$ $- a α + (2 - b) β = 2$ である。

この2式を加えると $(2 - a - b) (α + β) = 4$ であり、引くと $(2 + a - b) (α - β) = 0$ である。

ここで $2 - a - b = 0$ なら、上の和の式が $0 = 4$ となり、解は存在しない。また $2 + a - b = 0$ のときは、差 $α - β$ が一意に決まらない。ただし同時に $2 - a - b = 0$ となる場合はすでに解が存在しない場合に含まれる。したがって、関数 $f$ がただ一つ定まるための条件は $2 - a - b \neq = 0, 2 + a - b \neq = 0$ である。すなわち $b \neq = 2 - a, b \neq = 2 + a$ である。

この条件のもとでは $α + β = \frac{4}{2 - a - b}, α - β = 0$ であるから $α = β = \frac{2}{2 - a - b}$ となる。よって求める関数は $f (x) = \frac{2}{2 - a - b} (sin x + cos x)$ である。

東京大学 2001年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

東京大学 2001年度
理系数学第2問