東京大学 2001年度理系数学第4問解答・解説

問題

複素数平面上の点 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ を

{a_{1} = 1, a_{2} = i, a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n = 1, 2, \dots)

により定め，

b_{n} = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} (n = 1, 2, \dots)

とおく。ただし， $i$ は虚数単位である。

(1) 3点 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ を通る円 $C$ の中心と半径を求めよ。

(2) すべての点 $b_{n}$ $(n = 1, 2, \dots)$ は円 $C$ の周上にあることを示せ。

出典：東京大学 2001年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

最初に $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ を直接計算し、3点を通る円を $(x - α)^{2} + (y - β)^{2} = R^{2}$ の形で求める。次に漸化式から $b_{n + 1} = 1 + 1/ b_{n}$ を導く。円を $x^{2} - x + y^{2} = 1$ と書き直し、 $z = x + y i$ がこの円上にあるなら $1 + 1/ z$ も同じ式を満たすことを実部・虚部で確認する。

解答

(1)

漸化式から $a_{1} = 1, a_{2} = i, a_{3} = 1 + i, a_{4} = 1 + 2 i$ である。したがって $b_{1} = \frac{a _{2}}{a _{1}} = i,$ $b_{2} = \frac{a _{3}}{a _{2}} = \frac{1 + i}{i} = 1 - i,$

b_{3} = \frac{a _{4}}{a _{3}} = \frac{1 + 2 i}{1 + i} = \frac{( 1 + 2 i ) ( 1 - i )}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i

である。

円の中心を $(α, β)$ 、半径を $R$ とする。3点 $(0, 1)$ 、 $(1, - 1)$ 、 $(3/2, 1/2)$ が円上にあるので $α^{2} + (1 - β)^{2} = R^{2},$ $(1 - α)^{2} + (- 1 - β)^{2} = R^{2},$ $(\frac{3}{2} - α)^{2} + (\frac{1}{2} - β)^{2} = R^{2}$ である。第1式と第2式を引くと $2 α - 4 β = 1$ である。また、第1式と第3式を引くと $3 α - β = \frac{3}{2}$ である。これらを連立して $β = 0, α = \frac{1}{2}$ を得る。よって $R^{2} = (0 - \frac{1}{2})^{2} + 1^{2} = \frac{5}{4}$ である。

したがって円 $C$ の中心は実数 $1/2$ を表す点、半径は $\frac{5}{2}$ である。中心も合わせて書けば $中心 \frac{1}{2}, 半径 \frac{5}{2}$ である。

(2)

まず $b_{n + 1}$ と $b_{n}$ の関係を求める。定義と漸化式より

b_{n + 1} = \frac{a _{n + 2}}{a _{n + 1}} = \frac{a _{n + 1} + a _{n}}{a _{n + 1}} = 1 + \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} = 1 + \frac{1}{b _{n}}

である。

(1)で求めた円 $C$ の方程式は $(x - \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = \frac{5}{4}$ すなわち $x^{2} - x + y^{2} = 1$ である。

ここで $z = x + y i$ が円 $C$ 上にあるとする。この円は原点を通らないので $z \neq = 0$ である。 $X + Y i = 1 + 1/ z$ とおくと

1 + \frac{1}{z} = 1 + \frac{x - y i}{x ^{2} + y ^{2}} = (1 + \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}) - \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} i

だから $X = 1 + \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}, Y = - \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}$ である。よって

X^{2} - X + Y^{2} = (1 + \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}})^{2} - (1 + \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}) + \frac{y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} + \frac{x ^{2} + y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = \frac{x + 1}{x ^{2} + y ^{2}} .

一方、 $z$ が円 $C$ 上にあるので $x^{2} - x + y^{2} = 1$ であり、これは $x^{2} + y^{2} = x + 1$ を意味する。したがって $X^{2} - X + Y^{2} = 1$ である。つまり $z$ が円 $C$ 上にあるなら、 $1 + 1/ z$ も円 $C$ 上にある。

(1)より $b_{1}$ は円 $C$ 上にある。さらに $b_{n + 1} = 1 + \frac{1}{b _{n}}$ であるから、上で示した性質を繰り返し用いれば、数学的帰納法によりすべての $b_{n}$ は円 $C$ の周上にある。

東京大学 2001年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2001年度
理系数学第4問