問題
容量1リットルの個のビーカーに水が入っている。で空のビーカーは無い。入っている水の総量は1リットルである。またリットルの水が入っているビーカーがただ一つあり，その他のビーカーにはリットル未満の水しか入っていない。
このとき，水の入っているビーカーが2個になるまで，次の(a)から(c)までの操作を，順に繰り返し行う。
(a) 入っている水の量が最も少ないビーカーを一つ選ぶ。
(b) さらに，残りのビーカーの中から，入っている水の量が最も少ないものを一つ選ぶ。
(c) 次に，(a)で選んだビーカーの水を(b)で選んだビーカーにすべて移し，空になったビーカーを取り除く。
この操作の過程で，入っている水の量が最も少ないビーカーの選び方が一通りに決まらないときは，そのうちのいずれも選ばれる可能性があるものとする。
(1) のとき，最初にリットルの水の入っていたビーカーは，操作の途中で空になって取り除かれるか，または最後まで残って水の量が増えていることを証明せよ。
(2) のとき，最初にリットルの水の入っていたビーカーは，最後までリットルの水が入ったままで残ることを証明せよ。
方針
最初に リットル入っていたビーカーを特別なビーカー として区別する。(1)は、 が最後まで水量 のまま残ると仮定し、最後の操作直前の3個を調べる。残り2個の和が となるため、 は最後の操作で必ず選ばれて矛盾する。(2)は、非特別ビーカーが3個以上ある間、その最小2個の和が 未満であることを から示し、非特別ビーカー同士だけが合併され続けることを帰納的に追う。
解答
最初に リットルの水が入っていたビーカーを と呼ぶ。初めに 以外のビーカーには、すべて リットル未満の水しか入っていない。
(1)
とする。 が途中で取り除かれず、かつ最後まで水の量が のまま増えないと仮定して矛盾を導く。
最後の操作の直前には、水の入っているビーカーが3個ある。そのうち1個は であり、他の2個の水量を とする。この時点でも総水量は1リットルなので である。いま だから である。したがって がともに 以下であることはできず、少なくとも一方は より大きい。
すると、3個の水量 のうち、 の水量 は大きい方から1番目になることはない。すなわち は水量の少ない2個の中に必ず含まれる。最後の操作では水量の少ない2個が選ばれるので、 は必ず選ばれる。
もし が(a)で選ばれたビーカーなら、その水は別のビーカーへ移され、 は空になって取り除かれる。もし が(b)で選ばれたビーカーなら、別のビーカーの水が に移されるので、 の水量は より増える。いずれも仮定に反する。
よって は、操作の途中で空になって取り除かれるか、または最後まで残って水の量が増えている。
(2)
とする。 以外のビーカーを非特別ビーカーと呼ぶ。 が選ばれない限り、非特別ビーカー全体の水量は のままである。
非特別ビーカーが3個以上ある段階を考える。その中で水量の最も少ない2個を とする。もし なら、3番目に少ない非特別ビーカーの水量は少なくとも であるから、非特別ビーカー全体の水量は少なくとも である。ここで かつ より、 である。したがって となる。よって が必要であるが、これは を意味し、 に反する。
したがって、非特別ビーカーが3個以上ある間、その中で最も少ない2個の水量の和は常に 未満である。
初め、非特別ビーカーの水量はいずれも 未満である。いま非特別ビーカーが3個以上あり、すべての非特別ビーカーの水量が 未満であるとする。このとき、全体の中で水量の最も少ない2個は ではなく非特別ビーカーである。さらに上で示したことから、その2個を合併してできるビーカーの水量も 未満である。
よって帰納的に、非特別ビーカーが2個になるまで、操作で選ばれるのは常に非特別ビーカー同士であり、合併後も各非特別ビーカーの水量は 未満である。
最後の操作の直前には、 と非特別ビーカー2個が残っている。この2個の非特別ビーカーはいずれも 未満であるから、水量の少ない2個として選ばれるのはその2個であり、 は選ばれない。したがって は最後まで リットルの水が入ったままで残る。