東京大学 1997年度
理系数学 第6問

解答

(1)

曲線 $y=\frac{8}{27}{x}^3$ の$x=t$における接線を求める。導関数は $y^{\prime }=\frac{8}{9}{x}^2$ であるから、接線は $y=\frac{8}{27}{t}^3+\frac{8}{9}{t}^2(x-t)$ すなわち $y=\frac{8}{9}{t}^{2}x-\frac{16}{27}{t}^3$ である。

一方、放物線$y=(x+a{)}^2$について、$u=x+a$とおくと$y=u^2$である。$u$での接線は $y=2u(x+a)-u^2$ であり、$x$の式としては $y=2ux+2au-u^2$ である。

この2本の直線が一致するには、傾きと切片が一致すればよい。傾きの比較から $2u=\frac{8}{9}{t}^2$ すなわち $u=\frac{4}{9}{t}^2$ である。切片の比較から $2au-u^2=-\frac{16}{27}{t}^3$ である。$u=\frac{4}{9}{t}^2$を代入し、$t\ne 0$として整理すると $2t^2-6t+9a=0$ を得る。

なお、$t=0$は3次曲線の$x$軸での接線に対応し、放物線にも$u=0$で接するので、$x$軸は常に共通接線である。問題は$x$軸以外に2本ある条件を問うているから、上の2次方程式が相異なる2つの非零実数解をもてばよい。

判別式は $(-6{)}^2-4\cdot 2\cdot 9a=36-72a$ である。相異なる2実根をもつには $36-72a>0$ すなわち $a<\frac{1}{2}$ が必要である。また、$t=0$が解になるのは$a=0$のときであり、このとき非零解は1つしかない。したがって求める範囲は $a<\frac{1}{2},a\ne 0$ である。

(2)

(1)の2つの非零解を$t_1,t_2$とする。放物線側の接点を$u_1,u_2$とすると $u_i=\frac{4}{9}{t}_i^2(i=1,2)$ である。

2次方程式$2t^2-6t+9a=0$より $t_1+t_2=3$ であり、また $|t_1-t_2|=\frac{\sqrt{36-72a}}{2}=3\sqrt{1-2a}$ である。したがって

である。

ここで、放物線$y=X^2$の$X=u_1,u_2$における2本の接線と放物線で囲まれる面積を求める。接点の間隔を $d=|u_1-u_2|$ とすると、2本の接線は中点で交わり、囲まれる面積は $2{\int }_0^{d/2}{w}^{2}dw=\frac{d^3}{12}$ である。平行移動$X=x+a$では面積は変わらない。

したがって本問の面積は

である。