東京大学 1997年度
理系数学 第2問

解答

与えられた式を $m^2-(a-1)m+\frac{n^2}{2n+1}a=m(m+1)+a\left(\frac{n^2}{2n+1}-m\right)$ と書く。

まず必要条件を求める。$m=0$を代入すると $\frac{n^2}{2n+1}a>0$ である。$n$は正の整数なので $a>0$ が必要である。また$m=n$を代入すると $n(n+1)+a\left(\frac{n^2}{2n+1}-n\right)>0$ である。ここで $\frac{n^2}{2n+1}-n=-\frac{n(n+1)}{2n+1}$ だから $n(n+1)-a\frac{n(n+1)}{2n+1}>0$ である。したがって $a<2n+1$ が必要である。

次に、$0<a<2n+1$ ならばすべての整数$m$で与式が正になることを示す。 $m\leqq 0$のとき、整数$m$について $m(m+1)\geqq 0$ であり、さらに $\frac{n^2}{2n+1}-m>0$ である。$a>0$より与式は正である。 $m>0$かつ $m\leqq \frac{n^2}{2n+1}$ のとき、$m(m+1)>0$であり、第2項も0以上である。したがって与式は正である。

最後に $m>\frac{n^2}{2n+1}$ とする。このとき $\frac{n^2}{2n+1}-m<0$ である。$a<2n+1$を負の数に掛けると不等号の向きが逆になるので

である。したがって与式は $m(m+1)+(2n+1)\left(\frac{n^2}{2n+1}-m\right)$ より大きい。この右辺は $m^2+m+n^2-(2n+1)m=m^2-2nm+n^2=(m-n{)}^2$ である。よって与式は$(m-n{)}^2$より大きく、特に正である。

以上より、求める範囲は $0<a<2n+1$ である。

別解。各$m$ごとの$a$の条件として見てもよい。$c=\frac{n^2}{2n+1}$とおくと、条件は $m(m+1)+a(c-m)>0$ である。$m=0$から$a>0$が出る。$m>c$では $a<\frac{m(m+1)}{m-c}$ が必要であるが、$\frac{m(m+1)}{m-c}-(2n+1)=\frac{(m-n{)}^2}{m-c}\geqq 0$ である。したがって上限として最も厳しいのは$m=n$の$a<2n+1$であり、同じ結論を得る。