問題
正三角形の頂点から辺とのなす角がの方向に，三角形の内部に向かって出発した光線を考える。ただしとする。この光線は三角形の各辺で入射角と反射角が等しくなるように反射し，頂点に達するとそこでとまるものとする。また，三角形の内部では光線は直進するものとする。
(1) のとき，この光線はどの頂点に到達するかを述べよ。
(2) 正の整数を用いてと表せるとき，この光線の到達する頂点を求め，またそこへ至るまでの反射の回数をを用いて表せ。
方針
反射を扱う代わりに、正三角形を辺で次々に反射して平面を三角格子で敷きつめる。この展開図では光線は一直線に進む。格子点を方向に歩、方向に歩進んだ点として表すと、その点へ向かう傾きはである。与えられたと比較して最初に到達する格子点を求め、格子点の頂点ラベルの周期と、途中で横切る格子線の本数から到達頂点と反射回数を読む。
解答
(1)
正三角形を、光線が当たる辺で次々に反射して平面を敷きつめる。すると、元の三角形内で反射しながら進む光線は、展開図の中では一直線として進む。
格子点を、辺の方向に歩、方向に歩進んだ点として表す。この点の座標は、辺の長さを1とすれば である。したがって、原点からこの格子点へ向かう直線の傾きは である。
いま なので である。よって となる。最初に到達する格子点は、正の整数解のうち最小の である。
格子点の頂点ラベルは周期的に現れる。に対してを3で割った余りが、0なら、1なら、2ならに対応する。ここでは であるから、この格子点は元の三角形の頂点に対応する。したがって光線は に到達する。
(2)
同様に であるから である。よって すなわち である。は奇数なので、最初の正の整数解は である。
この格子点について であるから、到達する頂点は である。
次に反射回数を数える。展開図では、反射回数は始点から到達点までの直線が途中で横切る三角格子の辺の本数に等しい。では、途中で格子点を通らないので、3方向の格子線について単純に数えればよい。
横切る本数は、方向に平行な格子線で本、方向に平行な格子線で本、残りの方向の格子線で本である。したがって反射回数は である。, を代入すると である。よって反射回数は である。