東京大学 1997年度理系数学第5問解答・解説

問題

$a$ を $0 < a < \frac{1}{4}$ を満たす実数とする。 $x y$ 平面で，不等式

y^{2} ≦ x^{2} (1 - x^{2}) - a

の表す領域を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。

出典：東京大学 1997年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

領域は $x$ について左右対称であり、 $u = x^{2}$ とおくと存在条件は $u (1 - u) ≧ a$ になる。 $y$ 軸まわりの回転体なので、右半分を円筒殻として積分し、半径 $x$ 、高さ $2 x^{2} (1 - x^{2}) - a$ を用いる。置換 $u = x^{2}$ の後、 $u (1 - u) - a = \frac{1}{4} - a - (u - \frac{1}{2})^{2}$ と平方完成して、半円の面積として積分値を読む。

解答

$u = x^{2}$ とおく。領域が存在するためには $x^{2} (1 - x^{2}) - a ≧ 0$ すなわち $u (1 - u) - a ≧ 0$ である。方程式 $u (1 - u) - a = 0$ は $u^{2} - u + a = 0$ であり、 $0 < a < \frac{1}{4}$ より2つの解をもつ。その解は $α = \frac{1 - 1 - 4 a}{2}, β = \frac{1 + 1 - 4 a}{2}$ である。したがって右半分では $α ≦ x ≦ β$ が積分範囲になる。 $y$ 軸のまわりに回転するので、右半分を円筒殻で積分する。半径は $x$ 、高さは $2 x^{2} (1 - x^{2}) - a$ であるから、体積 $V$ は

V = \int_{α}^{β} 2 π x \cdot 2 x^{2} (1 - x^{2}) - a d x

すなわち $V = 4 π \int_{α}^{β} x x^{2} (1 - x^{2}) - a d x$ である。

ここで $u = x^{2}$ とおくと、 $d u = 2 x d x$ である。したがって $V = 2 π \int_{α}^{β} u (1 - u) - a d u$ となる。

被積分関数の中を平方完成すると $u (1 - u) - a = \frac{1}{4} - a - (u - \frac{1}{2})^{2}$ である。よって積分 $\int_{α}^{β} u (1 - u) - a d u$ は、半径 $\frac{1}{4} - a$ の半円の面積に等しい。したがって

\int_{α}^{β} u (1 - u) - a d u = \frac{π}{2} (\frac{1}{4} - a)

である。ゆえに

V = 2 π \cdot \frac{π}{2} (\frac{1}{4} - a) = π^{2} (\frac{1}{4} - a)

である。

別解。水平な切り口で考えてもよい。 $u = x^{2}$ とおくと、固定した $y$ に対して $y^{2} ≦ u (1 - u) - a$ である。これは $(u - \frac{1}{2})^{2} ≦ \frac{1}{4} - a - y^{2}$ と同値である。したがって $∣ y ∣ ≦ R$ , $R = \frac{1}{4} - a$ のとき、回転後の断面は内半径と外半径の2乗の差が

(\frac{1}{2} + R^{2} - y^{2}) - (\frac{1}{2} - R^{2} - y^{2}) = 2 R^{2} - y^{2}

であるような円環になる。よって断面積は $2 π R^{2} - y^{2}$ である。体積は

\int_{- R}^{R} 2 π R^{2} - y^{2} d y = 2 π \cdot \frac{π R ^{2}}{2} = π^{2} R^{2} = π^{2} (\frac{1}{4} - a)

であり、同じ結果を得る。

東京大学 1997年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

東京大学 1997年度
理系数学第5問