東京大学 1997年度理系数学第3問解答・解説

問題

$r$ は $0 < r < 1$ を満たす実数とする。 $x y z$ 空間に原点 $O (0, 0, 0)$ と2点 $A (1, 0, 0)$ ， $B (0, 1, 0)$ をとる。

(1) $x y z$ 空間の点 $P$ で条件

∣ P A ∣ = ∣ P B ∣ = r ∣ P O ∣

を満たすものが存在するような $r$ の範囲を求めよ。

(2) 点 $P$ が(1)の条件を満たして動くとき，内積 $P A \cdot P B$ の最大値，最小値を $r$ の関数と考えてそれぞれ $M (r)$ ， $m (r)$ で表す。このとき，左からの極限

r \to 1 - 0 lim (1 - r)^{2} {M (r) - m (r)}

を求めよ。

出典：東京大学 1997年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

$P A = P B$ から $P = (s, s, z)$ とおける。距離条件を2乗すると $(1 - r^{2}) (2 s^{2} + z^{2}) - 2 s + 1 = 0$ となり、平方完成で軌跡が楕円になる条件を読む。(2)では内積 $P A \cdot P B$ を条件式を使って $2 s^{2} + z^{2}$ の一次式に直し、楕円上で $s$ が動く幅から最大値と最小値の差を求める。

解答

(1)

$P = (x, y, z)$ とする。 $P A = P B$ より $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2}$ であるから $x = y$ である。そこで $P = (s, s, z)$ とおく。

条件 $P A = r P O$ を2乗すると $(s - 1)^{2} + s^{2} + z^{2} = r^{2} (2 s^{2} + z^{2})$ である。整理して $(1 - r^{2}) (2 s^{2} + z^{2}) - 2 s + 1 = 0$ を得る。 $0 < r < 1$ なので $1 - r^{2} > 0$ である。これを平方完成すると $2 (s - \frac{1}{2 ( 1 - r ^{2} )})^{2} + z^{2} = \frac{2 r ^{2} - 1}{2 ( 1 - r ^{2} ) ^{2}}$ となる。実数 $s, z$ が存在するためには右辺が0以上であればよい。したがって $2 r^{2} - 1 ≧ 0$ より $r ≧ \frac{1}{2}$ である。もともと $0 < r < 1$ なので、求める範囲は $\frac{1}{2} ≦ r < 1$ である。

(2)

$I = P A \cdot P B$ とおく。 $P = (s, s, z)$ より

P A = (1 - s, - s, - z), P B = (- s, 1 - s, - z)

であるから $I = 2 s^{2} - 2 s + z^{2}$ である。

一方、条件式から $2 s = (1 - r^{2}) (2 s^{2} + z^{2}) + 1$ である。これを用いると $I = (2 s^{2} + z^{2}) - 2 s = r^{2} (2 s^{2} + z^{2}) - 1$ となる。したがって、 $I$ の最大値と最小値の差は、 $2 s^{2} + z^{2}$ の最大値と最小値の差に $r^{2}$ を掛けたものである。 $A = 1 - r^{2}$ とおく。平方完成した式は $2 (s - \frac{1}{2 A})^{2} + z^{2} = \frac{2 r ^{2} - 1}{2 A ^{2}}$ である。 $u = s - \frac{1}{2 A}$ とおくと、この楕円上で $2 s^{2} + z^{2} = 2 (u + \frac{1}{2 A})^{2} + z^{2}$ である。右辺を展開し、楕円の式 $2 u^{2} + z^{2} = \frac{2 r ^{2} - 1}{2 A ^{2}}$ を使うと、変動する部分は $\frac{2}{A} u$ だけである。

楕円上では $- \frac{2 r ^{2} - 1}{2 A} ≦ u ≦ \frac{2 r ^{2} - 1}{2 A}$ である。したがって $2 s^{2} + z^{2}$ の最大値と最小値の差は $\frac{2 2 r ^{2} - 1}{A ^{2}}$ である。よって $M (r) - m (r) = \frac{2 r ^{2} 2 r ^{2} - 1}{( 1 - r ^{2} ) ^{2}}$ となる。

したがって $(1 - r)^{2} {M (r) - m (r)} = \frac{2 r ^{2} 2 r ^{2} - 1}{( 1 + r ) ^{2}}$ である。 $r \to 1 - 0$ とすると $lim_{r \to 1 - 0} (1 - r)^{2} {M (r) - m (r)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ である。

東京大学 1997年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1997年度
理系数学第3問