東京大学 1996年度理系数学第6問解答・解説

問題

$α$ ， $β$ を正の数とし， $x y$ 平面において，楕円

C : \frac{x ^{2}}{α} + \frac{( y - β ) ^{2}}{β} = 1

と領域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ≦ 1}

を考える。

(1) $C$ が $D$ に含まれるような点 $(α, β)$ の範囲を求め， $α β$ 平面上に図示せよ。

(2) 点 $(α, β)$ が(1)で求めた範囲を動くとき，楕円 $C$ の面積の最大値を求めよ。

出典：東京大学 1996年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

楕円上の点を $x = α cos θ$ ， $y = β (1 + sin θ)$ と表し，単位円板に含まれる条件を $x^{2} + y^{2} ≦ 1$ に直す。 $u = sin θ$ とおけば，調べるべき量は $- 1 ≦ u ≦ 1$ 上の二次式 $g (u) = α (1 - u^{2}) + β (1 + u)^{2}$ の最大値になる。最大が端点 $u = 1$ に出る場合と，内部の頂点に出る場合を $α$ と $β$ の大小で分け，最後に得られた領域上で面積 $π α β$ を最大化する。

解答

(1)

楕円 $C$ 上の点は

x = α cos θ, y = β + β sin θ = β (1 + sin θ)

と表せる。 $u = sin θ$ とおくと $- 1 ≦ u ≦ 1$ であり， $x^{2} + y^{2} = α (1 - u^{2}) + β (1 + u)^{2}$ である。したがって $C$ が $D$ に含まれる条件は $α (1 - u^{2}) + β (1 + u)^{2} ≦ 1$ がすべての $- 1 ≦ u ≦ 1$ で成り立つことである。

ここで $g (u) = α (1 - u^{2}) + β (1 + u)^{2}$ とおく。展開すると $g (u) = α + β + 2 β u + (β - α) u^{2}$ である。

まず $α ≦ 2 β$ の場合を考える。 $α ≦ β$ なら $g (u)$ は下に凸または一次式であり，最大は端点で生じる。 $β < α ≦ 2 β$ なら $g (u)$ の二次の係数は負で，頂点の $u$ 座標 $\frac{β}{α - β}$ が $1$ 以上なので， $[- 1, 1]$ では $u = 1$ で最大となる。いずれにしても最大値は $g (1) = 4 β$ である。よってこの場合の条件は $4 β ≦ 1$ すなわち $β ≦ \frac{1}{4}$ である。

次に $α > 2 β$ の場合を考える。このとき $g (u)$ の二次の係数は負で，頂点 $u = \frac{β}{α - β}$ は $0 < u < 1$ を満たす。したがって最大値は

g (\frac{β}{α - β}) = α + β + \frac{β ^{2}}{α - β}

である。よって条件は $α + β + \frac{β ^{2}}{α - β} ≦ 1$ である。 $α - β > 0$ だから，両辺に $α - β$ を掛けて整理すると $α^{2} ≦ α - β$ すなわち $β ≦ α (1 - α)$ となる。

これらを $α, β$ 平面で整理する。 $0 < α ≦ 1/2$ では， $β ≧ α /2$ の部分は最初の場合に含まれ， $β < α /2$ の部分では $α (1 - α) ≧ \frac{α}{2}$ なので二番目の場合の条件も自動的に満たされる。したがって $0 < α ≦ \frac{1}{2}, 0 < β ≦ \frac{1}{4}$ が得られる。

一方， $α > 1/2$ では，許されるのは $0 < β ≦ α (1 - α)$ の部分であり，右辺が正であるために $α < 1$ が必要である。

したがって求める範囲は $0 < α ≦ \frac{1}{2}, 0 < β ≦ \frac{1}{4}$ または $\frac{1}{2} ≦ α < 1, 0 < β ≦ α (1 - α)$ である。図示すると， $0 < α ≦ 1/2$ では高さ $1/4$ までの長方形部分， $1/2 ≦ α < 1$ では放物線 $β = α (1 - α)$ の下側部分である。

(2)

楕円 $C$ の半径方向の長さは $x$ 方向が $α$ ， $y$ 方向が $β$ なので，面積は $π α β$ である。したがって $α β$ の最大値を求めればよい。

まず $0 < α ≦ \frac{1}{2}, 0 < β ≦ \frac{1}{4}$ の部分では $α β ≦ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ である。

次に $\frac{1}{2} ≦ α < 1, 0 < β ≦ α (1 - α)$ の部分では $α β ≦ α^{2} (1 - α)$ である。ここで $h (α) = α^{2} (1 - α)$ とおくと $h^{'} (α) = 2 α (1 - α) - α^{2} = α (2 - 3 α)$ である。 $1/2 ≦ α < 1$ で最大となるのは $α = \frac{2}{3}$ のときであり， $h (\frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$ である。これは $\frac{4}{27} > \frac{1}{8}$ を満たす。

したがって $α β$ の最大値は $4/27$ であり，楕円の面積の最大値は $π \frac{4}{27} = \frac{2 π}{3 3}$ である。

東京大学 1996年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1996年度
理系数学第6問