東京大学 1996年度理系数学第1問解答・解説

問題

$x y$ 平面において，行列

(a b - b a)

で表される1次変換を $f$ とし，点 $(1, 0)$ を中心とする半径 $\frac{1}{3}$ の円を $C$ とする。 $f$ による $C$ の像が直線 $x = \frac{2}{3}$ に接し，かつ領域

D = {(x, y) ∣ x > 0}

に含まれるような $(a, b)$ 全体のなす図形を $ab$ 平面上に図示せよ。

出典：東京大学 1996年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

行列 $(a b - b a)$ は，中心を $(1, 0)$ から $(a, b)$ に移し，半径を $a^{2} + b^{2}$ 倍する相似回転として働く。したがって $f (C)$ は中心 $(a, b)$ ，半径 $a^{2} + b^{2} /3$ の円である。直線 $x = 2/3$ への接条件と，円全体が $x > 0$ に入る条件をそれぞれ式にし，接条件から得た曲線上で $a$ の範囲を絞る。最後に図示に必要な端点の開閉も確認する。

解答

円 $C$ 上の点を $(1, 0) + (u, v), u^{2} + v^{2} = \frac{1}{9}$ と表す。この点の $f$ による像は $(a, b) + (a u - b v, b u + a v)$ である。ここで $(a u - b v)^{2} + (b u + a v)^{2} = (a^{2} + b^{2}) (u^{2} + v^{2})$ だから， $f (C)$ は中心 $(a, b)$ ，半径 $\frac{1}{3} a^{2} + b^{2}$ の円である。

この円が直線 $x = 2/3$ に接する条件は，中心から直線までの距離が半径に等しいこと，すなわち $a - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} a^{2} + b^{2}$ である。両辺を2乗すると $9 (a - \frac{2}{3})^{2} = a^{2} + b^{2}$ であり，整理して $b^{2} = 4 (2 a - 1) (a - 1)$ を得る。

次に，円全体が $D = {(x, y) ∣ x > 0}$ に含まれる条件を考える。円の最も左の点の $x$ 座標は $a - \frac{1}{3} a^{2} + b^{2}$ であるから，必要十分条件は $a - \frac{1}{3} a^{2} + b^{2} > 0$ である。接条件のもとでは $\frac{1}{3} a^{2} + b^{2} = ∣ a - 2/3∣$ なので，これは $a > a - \frac{2}{3}$ と同値である。

この不等式を解く。 $a ≧ 2/3$ のときは常に成り立つが，曲線 $b^{2} = 4 (2 a - 1) (a - 1)$ 上に実点があるためには $(2 a - 1) (a - 1) ≧ 0$ が必要なので，この場合は $a ≧ 1$ である。 $a < 2/3$ のときは $a > \frac{2}{3} - a$ より $a > \frac{1}{3}$ であり，曲線上に実点がある条件と合わせて $\frac{1}{3} < a ≦ \frac{1}{2}$ となる。

したがって求める図形は， $ab$ 平面上の曲線 $b^{2} = 4 (2 a - 1) (a - 1)$ のうち $\frac{1}{3} < a ≦ \frac{1}{2} または a ≧ 1$ を満たす部分である。図示すると，左側の枝は $a = 1/3$ の二点を含まず $a = 1/2$ の点 $(1/2, 0)$ を含む部分，右側の枝は $(1, 0)$ を含んで $a$ 正方向へ伸びる二つの枝である。

東京大学 1996年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京大学 1996年度
理系数学第1問