東京大学 1996年度理系数学第4問解答・解説

問題

1つのサイコロを続けて投げて，それによって $a_{n}$ $(n = 1, 2, \dots)$ を以下のように定める。

出た目の数を順に $c_{1}, c_{2}, \dots$ とするとき， $1 ≦ k ≦ n - 1$ を満たすすべての整数 $k$ に対し $c_{k} ≦ c_{n}$ ならば $a_{n} = c_{n}$ ，それ以外のとき $a_{n} = 0$ とおく。ただし， $a_{1} = c_{1}$ とする。

(1) $a_{n}$ の期待値を $E (n)$ とするとき， $n \to \infty lim E (n)$ を求めよ。

(2) $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ のうち2に等しいものの個数の期待値を $N (n)$ とするとき， $n \to \infty lim N (n)$ を求めよ。

出典：東京大学 1996年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

$a_{n} = j$ となるには， $n$ 回目に $j$ が出て，それ以前のすべての目が $j$ 以下であればよい。この条件をそのまま確率に直すと $P (a_{n} = j)$ が得られ，期待値 $E (n)$ は有限和で表せる。(2)は「2に等しい個数」を各回の指示量の和と見て，期待値を $P (a_{k} = 2)$ の和に分解する。別解として，2が数えられるのは初めて3以上が出る前に限られることから，停止までに出る2の個数の期待値としても求められる。

解答

(1)

$1 ≦ j ≦ 6$ とする。 $a_{n} = j$ となるのは， $c_{n} = j$ であり，かつ $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n - 1}$ がすべて $j$ 以下であるときである。したがって $P (a_{n} = j) = \frac{1}{6} (\frac{j}{6})^{n - 1}$ である。

よって期待値は

E (n) = j = 1 \sum 6 j P (a_{n} = j) = j = 1 \sum 6 j \cdot \frac{1}{6} (\frac{j}{6})^{n - 1} = j = 1 \sum 6 (\frac{j}{6})^{n}

である。この和のうち $j = 6$ の項は常に $1$ であり， $1 ≦ j ≦ 5$ の項は $n \to \infty$ で $0$ に近づく。したがって $lim_{n \to \infty} E (n) = 1$ である。

(2)

$a_{k} = 2$ となるのは， $c_{k} = 2$ であり，かつ $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k - 1}$ がすべて $2$ 以下であるときである。したがって

P (a_{k} = 2) = \frac{1}{6} (\frac{2}{6})^{k - 1} = \frac{1}{6} (\frac{1}{3})^{k - 1}

である。 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ のうち2に等しいものの個数は，各 $k$ についての事象 $a_{k} = 2$ の指示量を足したものである。期待値は和に分けられるから

N (n) = k = 1 \sum n P (a_{k} = 2) = k = 1 \sum n \frac{1}{6} (\frac{1}{3})^{k - 1} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1 - ( 1/3 ) ^{n}}{1 - 1/3} = \frac{1}{4} {1 - (1/3)^{n}}

である。よって $lim_{n \to \infty} N (n) = \frac{1}{4}$ である。

別解。(2)だけを別の見方で求める。 $3, 4, 5, 6$ のいずれかが一度出ると，その後に $c_{k} = 2$ が出ても $a_{k} = 2$ にはならない。したがって，極限で数えられる個数は「初めて3以上の目が出るまでに出た2の個数」である。この期待値を $M$ とする。次の1回で2が出る確率は $1/6$ ，1が出る確率は $1/6$ ，3以上が出て終了する確率は $4/6$ なので $M = \frac{1}{6} (M + 1) + \frac{1}{6} M + \frac{4}{6} \cdot 0$ である。これを解くと $\frac{2}{3} M = \frac{1}{6}, M = \frac{1}{4}$ となり，同じ極限値を得る。

東京大学 1996年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1996年度
理系数学第4問