東京大学 1996年度理系数学第3問解答・解説

問題

空間内の点 $O$ を中心とする一辺の長さが $l$ の立方体の頂点を $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{8}$ とする。また， $O$ を中心とする半径 $r$ の球面を $S$ とする。

(1) $S$ 上のすべての点から $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{8}$ のうち少なくとも1点が見えるための必要十分条件を $l$ と $r$ で表せ。

(2) $S$ 上のすべての点から $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{8}$ のうち少なくとも2点が見えるための必要十分条件を $l$ と $r$ で表せ。

ただし， $S$ 上の点 $P$ から $A_{k}$ が見えるとは， $A_{k}$ が $S$ の外側にあり，線分 $P A_{k}$ と $S$ との共有点が $P$ のみであることとする。

出典：東京大学 1996年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

まず，球面上の点 $P$ から外部の点 $A$ が見える条件を，線分 $P A$ が球の内側へ入らない条件として内積で表す。立方体の頂点を $\frac{l}{2} (\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ ，球面上の点を $P = r (u, v, w)$ ， $u^{2} + v^{2} + w^{2} = 1$ とおくと，可視条件は符号和 $\pm u \pm v \pm w$ の大小比較になる。(1)では最大の符号和 $∣ u ∣ + ∣ v ∣ + ∣ w ∣$ の最小値を調べる。(2)では対称性により $u ≧ v ≧ w ≧ 0$ として，2番目に大きい符号和 $u + v - w$ の最小値を調べる。

解答

(1)

球面 $S$ 上の点 $P$ と，立方体の頂点の一つ $A$ を考える。線分 $P A$ 上の点は $P + λ (A - P) (0 ≦ λ ≦ 1)$ と表せる。 $∣ P ∣ = r$ であるから，

∣ P + λ (A - P) ∣^{2} - r^{2} = ∣ P ∣^{2} + 2 λ P \cdot (A - P) + λ^{2} ∣ A - P ∣^{2} - r^{2} = λ {2 (P \cdot A - r^{2}) + λ ∣ A - P ∣^{2}}

である。 $0 < λ ≦ 1$ に対してこの値が負にならなければ，線分 $P A$ は球の内側に入らず，共有点は $P$ だけである。 $λ$ を十分小さくしたときの符号も考えると，これは $P \cdot A ≧ r^{2}$ と同値である。

立方体の頂点は $\frac{l}{2} (\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ と書ける。球面上の点を $P = r (u, v, w), u^{2} + v^{2} + w^{2} = 1$ とおくと，ある頂点が見える条件は $\frac{l r}{2} (\pm u \pm v \pm w) ≧ r^{2}$ すなわち $\pm u \pm v \pm w ≧ \frac{2 r}{l}$ である。

固定した $(u, v, w)$ に対して，八つの符号和の最大値は $∣ u ∣ + ∣ v ∣ + ∣ w ∣$ である。したがって，すべての $P$ から少なくとも1点が見えるための必要十分条件は $∣ u ∣ + ∣ v ∣ + ∣ w ∣ ≧ \frac{2 r}{l}$ がすべての $u^{2} + v^{2} + w^{2} = 1$ で成り立つことである。

ここで $∣ u ∣ + ∣ v ∣ + ∣ w ∣ ≧ u^{2} + v^{2} + w^{2} = 1$ であり，等号は $(u, v, w) = (1, 0, 0)$ などで成り立つ。よって左辺の最小値は $1$ である。したがって必要十分条件は $\frac{2 r}{l} ≦ 1$ すなわち $r ≦ \frac{l}{2}$ である。この条件の下では頂点の距離 $3 l /2$ は $r$ より大きいので，頂点は球面の外側にある。

(2)

今度は，すべての $P$ から少なくとも2点が見える条件を考える。座標軸の入れ替えと符号の反転に関する対称性により， $u ≧ v ≧ w ≧ 0$ としてよい。このとき八つの符号和のうち最も大きいものは $u + v + w$ であり，2番目に大きいものは $u + v - w$ である。実際，ほかの候補 $u - v + w$ や $- u + v + w$ は， $v ≧ w$ ， $u ≧ w$ により $u + v - w$ 以下である。

したがって，少なくとも2点が見えるためには，すべての $u ≧ v ≧ w ≧ 0, u^{2} + v^{2} + w^{2} = 1$ に対して $u + v - w ≧ \frac{2 r}{l}$ が成り立つことが必要十分である。

この左辺の最小値を求める。 $v - w ≧ 0$ だから $u + v - w ≧ u$ である。また $u ≧ v ≧ w ≧ 0$ より $1 = u^{2} + v^{2} + w^{2} ≦ 3 u^{2}$ なので $u ≧ \frac{1}{3}$ である。したがって $u + v - w ≧ \frac{1}{3}$ である。等号は $u = v = w = \frac{1}{3}$ のとき成り立つから，最小値は $1/ 3$ である。

よって必要十分条件は $\frac{2 r}{l} ≦ \frac{1}{3}$ すなわち $r ≦ \frac{l}{2 3}$ である。この条件でも各頂点は球面の外側にある。

東京大学 1996年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1996年度
理系数学第3問